- Теорема Радона
-
Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.
Содержание
Формулировка
Пусть — пространство с мерой и мера -конечна. Тогда если мера абсолютно непрерывна относительно , то существует измеримая функция , такая что
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Связанные понятия
- Функция , существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры относительно меры . Пишут:
- Если — -мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, — распределение некоторой случайной величины , а — мера Лебега на , то производная Радона — Никодима меры относительно меры называется плотностью распределения случайной величины .
Свойства
- Пусть — -конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве . Тогда если и , то
- Пусть . Тогда
- выполнено -почти всюду.
- Пусть и — измеримая функция, интегрируемая относительно меры , то
- Пусть и . Тогда
- Пусть — заряд. Тогда
Вариации и обобщения
Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.
См. также
- Никодим, Отто;
- Радон, Иоганн.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Добавить иллюстрации.
Категории:- Функциональный анализ
- Теория вероятностей
- Функция , существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры относительно меры . Пишут:
Wikimedia Foundation. 2010.