- Теорема Радона
-
Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.
Содержание
Формулировка
Пусть
— пространство с мерой и мера
-конечна. Тогда если мера
абсолютно непрерывна относительно
, то существует измеримая функция
, такая что
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Связанные понятия
- Функция
, существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры
относительно меры
. Пишут:
- Если
—
-мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй,
— распределение некоторой случайной величины
, а
— мера Лебега на
, то производная Радона — Никодима меры
относительно меры
называется плотностью распределения случайной величины
.
Свойства
- Пусть
—
-конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве
. Тогда если
и
, то
- Пусть
. Тогда
выполнено
-почти всюду.
- Пусть
и
— измеримая функция, интегрируемая относительно меры
, то
- Пусть
и
. Тогда
- Пусть
— заряд. Тогда
Вариации и обобщения
Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.
См. также
- Никодим, Отто;
- Радон, Иоганн.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Добавить иллюстрации.
Категории:- Функциональный анализ
- Теория вероятностей
Wikimedia Foundation. 2010.