Заряд (теория меры)

У этого термина существуют и другие значения, см. Заряд.

Заряд — вещественнозначная конечно-аддитивная функция множества, определённая на некоторой $\sigma$-алгебре, (например, борелевских подмножеств).

В отличие от обычной меры, под которой обычно понимают положительную $\sigma$-аддитивную функцию множества, заряд может принимать и отрицательные значения и не обязательно быть счётно-аддитивным.

При этом термин «заряд» и «конечно-аддитивная мера» — это синонимы.

Множество всех зарядов над произвольным множеством $X$ c сигма-алгеброй $\Sigma$ принято обозначать $ba(X,\;\Sigma)$.

Связанные определения

• Положительный заряд $\nu\in ba(X,\;\Sigma)$ называется чисто конечно аддитивным, если для любой положительной счётно-аддитивной меры $\mu$ из $0\leqslant\mu\leqslant\nu$ вытекает, что $\mu=0$.
  • Произвольный заряд чисто конечно аддитивен, если таковы заряды $\nu^{+}$ и $\nu^{-}$.
• Заряд $\lambda$ - абсолютно непрерывен относительно меры $\mu$ , если $(\forall A\in \Sigma) ( \mu(A)=0 \to \lambda(A)=0 )$

Свойства

• Множество всех зарядов образует нормированную решётку и даже, более того, $K$-пространство.
• Для любого заряда $\nu$ имеется положительная часть $\nu^{+}\geqslant 0$ и отрицательная часть $\nu^{-}\geqslant 0$. Имеет место разложение Хана — Жордана $\nu=\nu^+- \nu^-$, в силу которого свойства зарядов могут быть выражены в терминах теории меры.
• Пусть $\mu\in ba(X,\;\Sigma)$.
  Любой заряд $\nu$ единственным образом представим в виде суммы $\nu=\nu_{1}+\nu_{2}$, где $\nu_{1}$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ и $\nu_{2}$ дизъюнктна $\mu$. Такое представление меры $\nu$ принято назвать разложением по Лебегу.
• Любой заряд $\nu\in ba(X,\;\Sigma)$ единственным образом представим в виде суммы $\nu=\nu_{ca}+\nu_{pfa}$, где $\nu_{ca}$ — произвольная счётно-аддитивная мера, а $\nu_{pfa}$ — произвольная чисто конечно-аддитивный заряд. Такое разложение иногда называют разложением Иосиды — Хьюита.
• Пространство $ba(X,\;\Sigma)$ является топологически сопряжённым к пространству измеримых и ограниченных функций, заданных над данным измеримым пространством.

История

Термин «заряд» был впервые введён А. Д. Александровым. Изучение заряда послужило толчком для развития конечно-аддитивной теории меры (40-е года XX века).

См. также

• Теорема Хана о разложении (англ.)

Литература

• Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962
• Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциалов. — М., 1966
• Халмош П. Теория меры. / Пер. с англ. — М., 1953.
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces I// Матем. сборник 1940. V.8(50), N 2. P.307-348
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces II// Матем. сборник 1941. V.9(51), N 3. P.563-628
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces III// Матем. сборник 1943. V.13(55), N 2. P.169-293
• Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures// Trans. Amer. Math. Soc. 1952. v. 72, N 1. P. 46—66