Сортировка пузырьком

Сортировка простыми обменами, сортиро́вка пузырько́м (англ. bubble sort) — простой алгоритм сортировки. Для понимания и реализации этот алгоритм — простейший, но эффективен он лишь для небольших массивов. Сложность алгоритма: O(n²).

Алгоритм считается учебным и практически не применяется вне учебной литературы, вместо него на практике применяются более эффективные алгоритмы сортировки. В то же время метод сортировки обменами лежит в основе некоторых более совершенных алгоритмов, таких как шейкерная сортировка, пирамидальная сортировка и быстрая сортировка.

Алгоритм

Алгоритм состоит из повторяющихся проходов по сортируемому массиву. За каждый проход элементы последовательно сравниваются попарно и, если порядок в паре неверный, выполняется обмен элементов. Проходы по массиву повторяются N-1 раз или до тех пор, пока на очередном проходе не окажется, что обмены больше не нужны, что означает — массив отсортирован. При каждом проходе алгоритма по внутреннему циклу, очередной наибольший элемент массива ставится на своё место в конце массива рядом с предыдущим наибольшим элементом, а наименьший элемент перемещается на одну позицию к началу массива («всплывает» до нужной позиции как пузырёк в воде, отсюда и название алгоритма).

Псевдокод

Псевдокод улучшенного алгоритма (устойчивая реализация) с почти вдвое уменьшенным числом проходов.

На входе: массив A[N], состоящий из N элементов, с нумерацией от A[1] до A[N]

 ЦИКЛ ДЛЯ J=1 ДО N-1 ШАГ 1                   FOR J=1 TO N-1 STEP 1 
   ЦИКЛ ДЛЯ I=1 ДО N-J ШАГ 1                   FOR I=1 TO N-J STEP 1 
     ЕСЛИ A[I]>A[I+1] ТО ОБМЕН A[I],A[I+1]       IF A[I]>A[I+1] THEN SWAP A[I],A[I+1]
   СЛЕДУЮЩЕЕ I                                 NEXT I
 СЛЕДУЮЩЕЕ J                                 NEXT J

В улучшенном алгоритме количество повторов во внутреннем цикле уменьшается на 1 с каждой итерацией внешнего цикла.

Если нет функции обмена (SWAP A[I],A[I+1]), то её можно заменить тремя операторами присваивания:

 TEMP=A[I]
 A[I]=A[I+1]
 A[I+1]=TEMP

Cложность: O(n·n), не уменьшается.

Наихудший случай:

• Число сравнений в теле цикла равно (N-1)*N/2.
• Число сравнений в заголовках циклов равно (N-1)*N/2.
• Суммарное число сравнений равно (N-1)*N.
• Число присваиваний в заголовках циклов равно (N-1)*N/2.
• Число обменов равно (N-1)*N/2, что в N/2 раз больше, чем в сортировке выбором.

Наилучший случай (на вход подаётся уже отсортированный массив):

• Число сравнений в теле цикла равно (N-1)*N/2.
• Число сравнений в заголовках циклов равно (N-1)*N/2.
• Суммарное число сравнений равно (N-1)*N.
• Число обменов равно 0.

Особенность данного алгоритма заключается в следующем: после первого завершения внутреннего цикла максимальный элемент массива всегда находится на N-ой позиции. При втором проходе, следующий по значению максимальный элемент находится на N-1 месте. И так далее. Таким образом, на каждом следующем проходе число обрабатываемых элементов уменьшается на 1 и нет необходимости «обходить» весь массив от начала до конца каждый раз.

Так как подмассив из одного элемента не нуждается в сортировке, то для сортировки требуется делать не более N-1 итераций внешнего цикла. Поэтому в некоторых реализациях внешний цикл всегда выполняется ровно N-1 и не отслеживается, были или не были обмены на каждой итерации.

Введение индикатора (флажка F) действительно произошедших во внутреннем цикле обменов уменьшает число лишних проходов в случаях с частично отсортированными массивами на входе. Перед каждым проходом по внутреннему циклу флажок сбрасывается в 0, а после действительно произошедшего обмена устанавливается в 1. Если после выхода из внутреннего цикла флажок равен 0, то обменов не было, то есть массив отсортирован и можно досрочно выйти из программы сортировки.

Псевдокод ещё более улучшенного алгоритма с проверкой действительно произошедших обменов во внутреннем цикле.

Нв входе: массив A[N], состоящий из N элементов, с нумерацией от A[1] до A[N]

 ЦИКЛ ДЛЯ J=1 ДО N-1 ШАГ 1                       FOR J=1 TO N-1 STEP 1
   F=0                                             F=0 
   ЦИКЛ ДЛЯ I=1 ДО N-J ШАГ 1                       FOR I=1 TO N-J STEP 1 
     ЕСЛИ A[I] > A[I+1] ТО ОБМЕН A[I],A[I+1]:F=1     IF A[I]>A[I+1] THEN SWAP A[I],A[I+1]:F=1
   СЛЕДУЮЩЕЕ I                                     NEXT I  
   ЕСЛИ F=0 ТО ВЫХОД ИЗ ЦИКЛА                      IF F=0 THEN EXIT FOR
 СЛЕДУЮЩЕЕ J                                     NEXT J

В случае досрочного выхода из сортировки в этом алгоритме делается один избыточный проход без обменов.

Наихудший случай (не улучшается):

• Число сравнений в теле цикла равно (N-1)*N/2.
• Число сравнений в заголовках циклов (N-1)*N/2.
• Суммарное число сравнений равно (N-1)*N.
• Число присваиваний в заголовках циклов равно (N-1)*N/2.
• Число обменов равно (N-1)*N/2.

Наилучший случай (улучшается):

• Число сравнений в теле цикла равно (N-1).
• Число сравнений в заголовках циклов (N-1).
• Суммарное число сравнений равно 2*(N-1).
• Число обменов равно 0.

Время сортировки 10000 коротких целых чисел на одном и том же программно-аппаратном комплексе (операция сравнения ≈3.4мкс, обмена ≈2.3мкс) сортировкой выбором составило ≈40сек., ещё более улучшенной сортировкой пузырьком ≈30сек, а быстрой сортировкой ≈0,027сек.

O(n·n) больше, чем O(n·log(n)) у сортировки слиянием, но при малых n разница не очень большая, а программный код очень прост, поэтому вполне допустимо применение сортировки пузырьком для множества задач с массивами малой размерности на простаивающих и малозагруженных машинах.

Алгоритм можно немного улучшить, сделав следующее:

• Внутренний цикл можно модифицировать так, чтобы он поочерёдно просматривал массив то с начала, то с конца. Модифицированный таким образом алгоритм называется сортировкой перемешиванием или шейкерной сортировкой. Сложность при этом O(n·n) не уменьшается.

В сортировке пузырьком, при каждом проходе по внутреннему циклу, можно добавить определение очередного минимального элемента и помещение его в начало массива, то есть объединить алгоритмы сортировки пузырьком и сортировки выбором, при этом число проходов по внутреннему циклу сокращается вдвое, но более чем вдвое увеличивается число сравнений и добавляется один обмен после каждого прохода по внутреннему циклу.

Псевдокод объединённого алгоритма сортировки пузырьком и сортировки выбором (устойчивая реализация):

 FOR J=1 TO N-1 STEP 1
    F=0
    MIN=J
    FOR I=J TO N-J STEP 1 
       IF Y[I]>Y[I+1] THEN SWAP Y[I],Y[I+1]:F=1
       IF Y[I]<Y[MIN] THEN MIN=I
       NEXT I
    IF F=0 THEN EXIT FOR
    IF MIN<>J THEN SWAP Y[J],Y[MIN]
    NEXT J

Пример работы алгоритма

Возьмём массив с числами «5 1 4 2 8» и отсортируем значения по возрастанию, используя сортировку пузырьком. Выделены те элементы, которые сравниваются на данном этапе.

Первый проход:

(5 1 4 2 8) (1 5 4 2 8), Здесь алгоритм сравнивает два первых элемента и меняет их местами.

(1 5 4 2 8) (1 4 5 2 8), Меняет местами, так как 5 > 4

(1 4 5 2 8) (1 4 2 5 8), Меняет местами, так как 5 > 2

(1 4 2 5 8) (1 4 2 5 8), Теперь, ввиду того, что элементы стоят на своих местах (8 > 5), алгоритм не меняет их местами.

Второй проход:

(1 4 2 5 8) (1 4 2 5 8)

(1 4 2 5 8) (1 2 4 5 8), Меняет местами, так как 4 > 2

(1 2 4 5 8) (1 2 4 5 8)

(1 2 4 5 8) (1 2 4 5 8)

Теперь массив полностью отсортирован, но алгоритм не знает так ли это. Поэтому ему необходимо сделать полный проход и определить, что перестановок элементов не было.

Третий проход:

(1 2 4 5 8) (1 2 4 5 8)

(1 2 4 5 8) (1 2 4 5 8)

(1 2 4 5 8) (1 2 4 5 8)

(1 2 4 5 8) (1 2 4 5 8)

Теперь массив отсортирован и алгоритм может быть завершён.

Примечания

Ссылки

Имеется викиучебник по теме
«Примеры реализации сортировки пузырьком»

• Анимированное сравнение алгоритмов сортировки

Литература

• Ананий В. Левитин. Глава 3. Метод грубой силы: Пузырьковая сортировка // Алгоритмы: введение в разработку и анализ = Introduction to The Design and Analysis of Algorithms. — М.: Вильямс, 2006. — С. 144-146. — ISBN 5-8459-0987-2

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать статью.