Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции

Теоре́ма о сво́йстве Дарбу́ (Д-сво́йстве) для непреры́вной фу́нкции в математическом анализе утверждает, что непрерывный образ отрезка есть отрезок.

Формулировка

Пусть дана непрерывная вещественнозначная функция на отрезке $f:[a,b]\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; f\in C\bigl( [a,b] \bigr).$ Тогда существуют $c,d \in \mathbb{R}$ такие, что

$f\bigl([a,b]\bigr) = [c,d].$

Замечания

• Если функция $f$ постоянна, то $c=d.$
• Теорема о свойстве Дарбу утверждает, что непрерывное отображение переводит любой отрезок в отрезок. Это свойство функции называется свойством Дарбу. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Рассмотрим, например, функцию $f:[0,1] \to \R,$ заданную формулой

  $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sin \left(\frac{\pi}{2x}\right), & x \in (0,1]\\ 0, & x = 0 \end{matrix} \right..$

Тогда функция $f$ обладает свойством Дарбу, но разрывна в точке $x=0.$

• Теорема Серпинского. Любая функция может быть представлена суммой двух функций со свойством Дарбу.

Свойство Дарбу для монотонных функций

Пусть функция $f:[a,b] \to \R$ монотонно возрастает или убывает на всём отрезке. Тогда она обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна.

Обобщение

Свойство Дарбу выполнено не только для непрерывных функций, но и любой функции, являющейся производной другой функции. Последние включают в себя непрерывные функции. Пусть $F:[a,b] \to \R$ — дифференцируемая внутри области определения, то есть $F \in \mathcal{D}\bigl((a,b)\bigr),$ и $F'(x) = f(x),\; x\in (a,b),$ а также дифференцируема справа в точке $a$: $F'_+(a) = f_+(a)$ и слева в точке $b$: $F'_-(b) = f_-(b).$ Тогда $f\bigl([a,b]\bigr)$ является отрезком, замкнутым лучом или всей прямой (то есть замкнуто и связно).

См. также

• Линейно связное пространство;
• Теорема Больцано — Коши;
• Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте;
• Лемма Ферма.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.