- Теорема Лагранжа об обращении рядов
-
Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.Пусть функция
аналитична в точке
и
. Тогда в некоторой окрестности точки
обратная к ней функция
представима рядом вида
Содержание
Применения
Ряд Бюрмана — Лагранжа
Ряд Бюрмана — Лагранжа определяется как разложение голоморфной функции
по степеням другой голоморфной функции
и представляет собой обобщение ряда Тейлора.
Пусть
и
голоморфны в окрестности некоторой точки
, притом
и
— простой нуль функции
. Теперь выберем некую область
, в которой
и
голоморфны, а
однолистна в
. Тогда имеет место разложение вида:
где коэффициенты
вычисляются по следующему выражению:
Теорема об обращении рядов
Частным случаем применения рядов является так называемая задача об обращении ряда Тейлора.
Рассмотрим разложение вида
. Попытаемся с помощью полученного выражения вычислить коэффициенты ряда
:
Обобщения
В условиях теоремы для суперпозиции вида
справедливо представление в виде ряда
Литература
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Lagrange expansion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Lagrange Inversion Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Bürmann's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Series Reversion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Bürmann-Lagrange series (англ.)
Категория:- Комплексный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.