Фунциональная последовательность

Функциональная последовательность

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве $\ E$ включенном в d-мерное евклидово пространство $\ \mathbb{R}^d$.

$\ {u_k}(x): E \mapsto \mathbb{C},~~ E \subseteq \mathbb{R}^d,~~ k\in \mathbb{N}$

Поточечная сходимость

Числовая последовательность $\ {u_k}(x)$ сходится поточечно к числовой последовательности $\ {u}(x)$, если $\forall x\in E \;\;\;\exists\lim_{k \rightarrow \infty} \ {u_k}(x)=\ {u}(x)$.

Равномерная сходимость

Существует функция $\ u(x): E\mapsto\mathbb{C}$ такая, что: $\ \sup\mid {u_k}(x) - u(x)\mid\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0,~~ x\in E$

Факт равномерной сходимости последовательности $\ {u_k}(x)$ к функции $\ u(x)$ записывается: $\ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x)$

Критерий Коши равномерной сходимости

$\ \forall\varepsilon > 0~~ \exist k(\varepsilon): \mid {u_l}(x) - {u_m}(x) \mid < \varepsilon, ~~\forall l,m >k(\varepsilon)$

Функциональный ряд

$\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$

$\ {S_n}(x) = \sum_{k=1}^{n} {u_k}(x)$ — n-ная частичная сумма.

В этом разделе всё происходит на множестве $\ E$

Поточечная сходимость

Последовательность $\ {S_n}(x)$ сходится поточечно.

Равномерная сходимость

Последовательность $\ {S_n}(x)$ сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости

$\ {u_k}(x)\rightrightarrows 0$

Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для последовательности $\ {S_n}(x)$.

Абсолютная сходимость

Ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty} \mid{u_k}(x)\mid$ сходится.

Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$ сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty} {v_k}(x)$ сходится равномерно.
2. $\ \mid{u_k}(x)\mid < {v_k}(x),~ \forall x\in E,~ \forall k\in \mathbb{N}$

Признак Вейерштрасса

Ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$ сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Числовой ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty}a_k$ сходится.
2. $\ \mid{u_k}(x)\mid < {a_k},~ \forall x\in E,~ \forall k\in \mathbb{N}$

Признак Дирихле

Ряд $\sum_{k=1}^\infty {{a_k}(x)}{{u_k}(x)}$ сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций $\ {a_k}(x)$ монотонна $\ \forall x\in E$ и $\ {a_k}(x)\rightrightarrows 0$
2. Частичные суммы $\ {S_n}(x)$ ряда $\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$ равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд $\sum_{k=1}^\infty {{a_k}(x)}{{u_k}(x)}$ сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций $\ {a_k}(x)$ равномерно ограничена и монотонна $\ \forall x, x\in E$.
2. Ряд $\ \sum_{k=1}^{\infty} {u_k}(x)$ равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Теоремы о непрерывности

Рассматривается комплекснозначные функции на множестве $\ E$

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Последовательность $\ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x)$

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывна в точке $\ x_0$

Тогда $\ u(x)$ непрерывна в $\ x_0$.

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Ряд $\ \sum_{k=0}^{\infty} {u_k}(x)\rightrightarrows S(x)$

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывна в точке $\ x_0$

Тогда $\ S(x)$ непрерывна в $\ x_0$.

Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывна на отрезке $\ [a, b]$

$\ {u_k}(x)\rightrightarrows u(x)$ на $\ [a, b]$

Тогда $\ \int\limits_{a}^{x} {u_k}(x)dx \rightrightarrows \int\limits_{a}^{x} u(x)dx~,~~\forall x \in [a,b]$

Теорема о почленном интегрировании.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывна на отрезке $\ [a, b]$

$\ \sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x)\rightrightarrows S(x)$ на $\ [a, b]$

Тогда $\ \sum_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a}^{x} {u_k}(x)dx \rightrightarrows \int\limits_{a}^{x} S(x)dx~,~~\forall x \in [a,b]$

Теоремы о дифференцировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывна дифференцируема на отрезке $\ [a, b]$

$\ \exist c\in [a, b]:~u_k(c)$ сходится

$\ {u'_k}(x)\rightrightarrows \omega(x)$ на отрезке $\ [a, b]$

Тогда $\ \exist u(x):~{u_k}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x)$ - непрерывно дифференцируема на $\ [a, b]$, $\ u'(x)=\omega(x)$ на $\ [a, b]$

Теорема о почленном дифференцировании.

$\ \forall k:$ функция $\ {u_k}(x)$ непрерывно дифференцируема на отрезке $\ [a, b]$

$\ \exist c\in [a, b]:~ \sum_{k=1}^{\infty} u_k(c)$ сходится

$\ \sum_{k=1}^{\infty}{u'_k}(x)$ равномерно сходится на отрезке $\ [a, b]$

Тогда $\ \exist S(x):~\sum_{k=1}^{\infty}{u_k}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x)$ - непрерывно дифференцируема на $\ [a, b]$, $\ S'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}{u'_k}(x)$ на $\ [a, b]$

Ссылки

• О.В.Бесов Лекции по математическому анализу Ч. 1. — М.: МФТИ, 2004. — 327 с. Глава 16 Функциональные последовательности и ряды