- Плотное множество
-
Пло́тное мно́жество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, A плотно в X, если всякая окрестность любой точки x из X содержит элемент A.
Содержание
Определения
- Пусть даны топологическое пространство
и два подмножества
Тогда множество
называется плотным в множестве
, если любая окрестность любой точки
содержит хотя бы одну точку из
, то есть
- Множество
называется всюду плотным, если оно плотно в
Замечание
Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:
- Множество
плотно в
тогда и только тогда, когда замыкание
содержит
, то есть
. В частности,
всюду плотно, если
.
- Множество
плотно в
тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к
не пересекается с
, то есть
. В частности,
всюду плотно, если
.
Примеры
- Множество рациональных чисел
плотно в пространстве вещественных чисел
.
См. также
Литература
- Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян. Общая топология — М: Высшая школа, 1979.
- Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
- Энгелькинг Р. Общая топология — М.: Мир, 1986
- Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. Учебник в задачах (рус., англ.)
Категория:- Общая топология
- Пусть даны топологическое пространство
Wikimedia Foundation. 2010.