Теорема Пикара (комплексный анализ)

В теории функций комплексного переменного в честь Ш. Э. Пикара названы две теоремы, традиционно называемые большая и малая теоремы Пикара.

Малая теорема Пикара

Областью значений целой функции является вся комплексная плоскость, за исключением, быть может, лишь одной точки.

Большая теорема Пикара

Пусть функция $f$ голоморфна в проколотой окрестности $U(z_0)$ точки $z_0 \in \Bbb C$ и имеет в точке $z_0$ существенную особенность. Тогда $f$ принимает в $U(z_0)$ все значения, кроме, быть может, одного.

Она является в некотором смысле обобщением теоремы Сохоцкого.

Примечания

• Фактически, малая теорема Пикара является следствием большой, так как, по теореме Лиувилля, целая функция либо является многочленом, либо имеет на бесконечности существенную особенность.
• Большая теорема Пикара допускает обобщение на случай мероморфных функций. Пусть $M$ — риманова поверхность, $\mathbf{P}^1\Bbb{C}$ — сфера Римана, $f\colon M \setminus {w} \to \mathbf{P}^1\Bbb{C}$ — голоморфная функция, имеющая в точке $w$ существенную особенность. Тогда в любой окрестности $U(w)\sub M$ точки $w$ функция $f$ принимает почти все значения на $\mathbf{P}^1\Bbb{C}$, за исключением не более чем двух.

Например, мероморфная функция

$f(z) = \frac{1}{1- \exp{1/z}}$

имеет существенную особенность в точке $z=0$ и достигает $\infty$ в любой окрестности $U(0)$, но нигде не равна 0 или 1.

Литература

• Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, — М.: Физматкнига, 2003. — М., Издательство МФТИ, 2003. — 208 с — ISBN 5-89155-115-9
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, — СПб.: Лань, 2004. — 336 с — ISBN 5-8114-0568-5 (ISBN 5-8114-0567-7)

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.