Теорема Рэлея о точке перегиба

Теорема Рэлея в гидродинамике утверждает, что для плоскопараллельного течения для развития неустойчивости необходимым условием является наличие точки перегиба профиля течения. Теорема получена Рэлеем в приближении идеальной жидкости.

Основное утверждение теоремы очевидным образом противоречит экспериментальным фактам. В частности, в течении Пуазейля реализуется параболический профиль скорости, не обладающий точками перегиба, однако неустойчивость такого течения также возможна.

Доказательство

Рассмотрение возмущений стационарного плоскопараллельного (в координатах $(x,z)$) течения вязкой жидкости в предположении, что они имеют вид $f(z) \text{e}^{i k x}$, в линейном приближении приводит к уравнению Орра—Зоммерфельда. Пренебрежение вязкостью ($\text{Re} \rightarrow \infty$) даёт уравнение Рэлея:

$\left( \lambda + i k U \right) \nabla^2 w - i k w U'' = 0,$

$\nabla^2 = \frac{d^2}{d z^2} - k^2,$

где $w, \lambda = \sigma + i \omega, k$ — амплитуда, комплексный инкремент и волновое число возмущения, соответственно; $U = U(z)$ — профиль скорости плоскопараллельного течения; $\nabla^2$ — оператор Лапласа для нормальных возмущений. По сравнению с исходным уравнением четвёртого порядка, здесь порядок задачи понизился до второго, что требует корректировки граничных условий. Для канала с твёрдыми стенками условие прилипания, очевидно, заменяется на условие непротекания:

$w \vert_{z=0, h} = 0$.

Поделим уравнение на $\left( \lambda + i k U \right)$, домножим на комплексно-сопряженную амплитуду возмущения $w^{\ast}$ и проинтегрируем по ширине канала:

$\int\limits_0^h w^{\ast} \nabla^2 w dz = i k \int\limits_0^h \frac{U'' \vert w \vert^2 }{\left( \lambda + i k U \right)} dz.$

Преобразование левой части (с учётом граничных условий для уравнения Рэлея)

$\begin{align} & \int w^{\ast} \nabla^2 w dz = \int w^{\ast} w'' dz - k^2 \int \vert w \vert^2 dz = \\ & = w^{\ast} w' \vert_0^h - \int \vert w' \vert^2 dz - k^2 \int \vert w \vert^2 dz = - \int \vert w' \vert^2 dz - k^2 \int \vert w \vert^2 dz. \end{align}$

показывает, что она является знакоопределенным и вещественным выражением. Следовательно, справа мнимая часть выражения должна быть равна нулю. Выделим её:

$\begin{align} & i k \int \frac{U'' \vert w \vert^2 }{\left( \lambda + i k U \right)} dz = i k \int \frac{U'' \left( \lambda^{\ast} - i k U \right) \vert w \vert^2 }{\vert \lambda + i k U \vert^2 } dz = \\ & = i k \lambda^{\ast} \int \frac{U'' \vert w \vert^2 }{\vert \lambda + i k U \vert^2 } dz + k^2 \int \frac{U'' U \vert w \vert^2 }{\vert \lambda + i k U \vert^2 } dz. \end{align}$

Принимая во внимание $\lambda = \sigma + i \omega$, получим:

$k \sigma \int \frac{U'' \vert w \vert^2 }{\vert \lambda + i k U \vert^2 } dz = 0.$

Здесь есть две возможности. Во-первых, $\sigma = 0$, отвечающее нейтральным возмущениям. Однако, это никакой информации об устойчивости не несёт, поскольку амплитуда такого возмущения не изменяется со временем. Потому примем, что равен нулю интеграл. Однако, в подинтегральном выражении все величины, кроме $U''$, положительны. Для выполнения равенства требуется смена знака $U''$ внутри канала, следовательно, существует как минимум одна точка перегиба, где $U'' = 0$.

Применимость

Очевидно, теорема Рэлея справедлива далеко не всегда. В первую очередь, существенным может оказаться влияние вязкого слагаемого даже при больших числах Рейнольдса, ввиду большого значения четвёртой производной.

Тем не менее, утверждение теоремы является весьма общим. Экспериментальные и численные исследования показывают, что, хотя и в отсутствие точки перегиба неустойчивость возможна, абсолютно устойчивых течений с точками перегиба не обнаружено.

См. также

• Гидродинамическая устойчивость
• Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца

Литература

• Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: Из-во иностранной литературы, 1958.

У этой статьи нет иллюстраций. Вы можете помочь проекту, добавив их (с соблюдением правил использования изображений). Для поиска иллюстраций можно: попробовать воспользоваться инструментом FIST: нажмите эту ссылку, чтобы начать поиск; попытаться найти изображение на Викискладе; просмотреть иноязычные варианты статьи (если они есть); см. также Википедия:Источники изображений.