Теорема Рэлея о точке перегиба

Теорема Рэлея о точке перегиба

Теорема Рэлея в гидродинамике утверждает, что для плоскопараллельного течения для развития неустойчивости необходимым условием является наличие точки перегиба профиля течения. Теорема получена Рэлеем в приближении идеальной жидкости.

Основное утверждение теоремы очевидным образом противоречит экспериментальным фактам. В частности, в течении Пуазейля реализуется параболический профиль скорости, не обладающий точками перегиба, однако неустойчивость такого течения также возможна.

Содержание

Доказательство

Рассмотрение возмущений стационарного плоскопараллельного (в координатах (x,z)) течения вязкой жидкости в предположении, что они имеют вид f(z) \text{e}^{i k x}, в линейном приближении приводит к уравнению Орра—Зоммерфельда. Пренебрежение вязкостью (\text{Re} \rightarrow \infty) даёт уравнение Рэлея:


\left( \lambda + i k U \right) \nabla^2 w - i k w U'' = 0,

\nabla^2 = \frac{d^2}{d z^2} - k^2,

где w, \lambda = \sigma + i \omega, k — амплитуда, комплексный инкремент и волновое число возмущения, соответственно; U = U(z) — профиль скорости плоскопараллельного течения; \nabla^2оператор Лапласа для нормальных возмущений. По сравнению с исходным уравнением четвёртого порядка, здесь порядок задачи понизился до второго, что требует корректировки граничных условий. Для канала с твёрдыми стенками условие прилипания, очевидно, заменяется на условие непротекания:

w \vert_{z=0, h} = 0.

Поделим уравнение на \left( \lambda + i k U \right), домножим на комплексно-сопряженную амплитуду возмущения w^{\ast} и проинтегрируем по ширине канала:


\int\limits_0^h w^{\ast} \nabla^2 w dz = i k \int\limits_0^h \frac{U'' \vert w \vert^2 }{\left( \lambda + i k U \right)} dz.

Преобразование левой части (с учётом граничных условий для уравнения Рэлея)


\begin{align}
& \int w^{\ast} \nabla^2 w dz = \int w^{\ast} w'' dz - k^2 \int \vert w \vert^2 dz = \\
& = w^{\ast} w' \vert_0^h - \int \vert w' \vert^2 dz - k^2 \int \vert w \vert^2 dz = - \int \vert w' \vert^2 dz - k^2 \int \vert w \vert^2 dz.
\end{align}

показывает, что она является знакоопределенным и вещественным выражением. Следовательно, справа мнимая часть выражения должна быть равна нулю. Выделим её:


\begin{align}
& i k \int \frac{U'' \vert w \vert^2 }{\left( \lambda + i k U \right)} dz = 
i k \int \frac{U'' \left( \lambda^{\ast} - i k U \right) \vert w \vert^2 }{\vert \lambda + i k U \vert^2 } dz = \\
& = i k \lambda^{\ast} \int \frac{U'' \vert w \vert^2 }{\vert \lambda + i k U \vert^2 } dz +
k^2 \int \frac{U'' U \vert w \vert^2 }{\vert \lambda + i k U \vert^2 } dz.
\end{align}

Принимая во внимание \lambda = \sigma + i \omega, получим:


k \sigma \int \frac{U'' \vert w \vert^2 }{\vert \lambda + i k U \vert^2 } dz = 0.

Здесь есть две возможности. Во-первых, \sigma = 0, отвечающее нейтральным возмущениям. Однако, это никакой информации об устойчивости не несёт, поскольку амплитуда такого возмущения не изменяется со временем. Потому примем, что равен нулю интеграл. Однако, в подинтегральном выражении все величины, кроме U'', положительны. Для выполнения равенства требуется смена знака U'' внутри канала, следовательно, существует как минимум одна точка перегиба, где U'' = 0.

Применимость

Очевидно, теорема Рэлея справедлива далеко не всегда. В первую очередь, существенным может оказаться влияние вязкого слагаемого даже при больших числах Рейнольдса, ввиду большого значения четвёртой производной.

Тем не менее, утверждение теоремы является весьма общим. Экспериментальные и численные исследования показывают, что, хотя и в отсутствие точки перегиба неустойчивость возможна, абсолютно устойчивых течений с точками перегиба не обнаружено.

См. также

Литература

  • Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: Из-во иностранной литературы, 1958.



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»