- Теорема Рэлея о точке перегиба
-
Теорема Рэлея в гидродинамике утверждает, что для плоскопараллельного течения для развития неустойчивости необходимым условием является наличие точки перегиба профиля течения. Теорема получена Рэлеем в приближении идеальной жидкости.
Основное утверждение теоремы очевидным образом противоречит экспериментальным фактам. В частности, в течении Пуазейля реализуется параболический профиль скорости, не обладающий точками перегиба, однако неустойчивость такого течения также возможна.
Содержание
Доказательство
Рассмотрение возмущений стационарного плоскопараллельного (в координатах
) течения вязкой жидкости в предположении, что они имеют вид
, в линейном приближении приводит к уравнению Орра—Зоммерфельда. Пренебрежение вязкостью (
) даёт уравнение Рэлея:
где
— амплитуда, комплексный инкремент и волновое число возмущения, соответственно;
— профиль скорости плоскопараллельного течения;
— оператор Лапласа для нормальных возмущений. По сравнению с исходным уравнением четвёртого порядка, здесь порядок задачи понизился до второго, что требует корректировки граничных условий. Для канала с твёрдыми стенками условие прилипания, очевидно, заменяется на условие непротекания:
.
Поделим уравнение на
, домножим на комплексно-сопряженную амплитуду возмущения
и проинтегрируем по ширине канала:
Преобразование левой части (с учётом граничных условий для уравнения Рэлея)
показывает, что она является знакоопределенным и вещественным выражением. Следовательно, справа мнимая часть выражения должна быть равна нулю. Выделим её:
Принимая во внимание
, получим:
Здесь есть две возможности. Во-первых,
, отвечающее нейтральным возмущениям. Однако, это никакой информации об устойчивости не несёт, поскольку амплитуда такого возмущения не изменяется со временем. Потому примем, что равен нулю интеграл. Однако, в подинтегральном выражении все величины, кроме
, положительны. Для выполнения равенства требуется смена знака
внутри канала, следовательно, существует как минимум одна точка перегиба, где
.
Применимость
Очевидно, теорема Рэлея справедлива далеко не всегда. В первую очередь, существенным может оказаться влияние вязкого слагаемого даже при больших числах Рейнольдса, ввиду большого значения четвёртой производной.
Тем не менее, утверждение теоремы является весьма общим. Экспериментальные и численные исследования показывают, что, хотя и в отсутствие точки перегиба неустойчивость возможна, абсолютно устойчивых течений с точками перегиба не обнаружено.
См. также
- Гидродинамическая устойчивость
- Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца
Литература
- Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: Из-во иностранной литературы, 1958.
У этой статьи нет иллюстраций. Вы можете помочь проекту, добавив их (с соблюдением правил использования изображений).
Для поиска иллюстраций можно:- попробовать воспользоваться инструментом FIST: нажмите эту ссылку, чтобы начать поиск;
- попытаться найти изображение на Викискладе;
- просмотреть иноязычные варианты статьи (если они есть);
- см. также Википедия:Источники изображений.
Категории:- Гидродинамика
- Теория устойчивости
Wikimedia Foundation. 2010.