Теорема Нагумо

Теорема Нагу́мо — теорема существования решения краевой задачи первого рода для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, разрешённого относительно старшей производной. Принадлежит японскому математику Ми́тио Нагумо^[1]. Является одной из теорем метода дифференциальных неравенств.

Формулировка теоремы

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение второго порядка с краевыми условиями первого рода:

$y'' = f(x,y,y'), \quad x \in (a,b),$

(1.1)

$y(a) = y^a, \quad y(b) = y^b.$

(1.2)

Чтобы сформулировать теорему Нагумо для задачи (1.1—1.2), нам понадобится ряд определений.

Пусть функция $f(x,y,z)$ определена при всех $(x,y,z) \in \mathfrak B \times \mathbb R$, где $\mathfrak B \subset \mathbb R^2$.

Определение. Будем говорить, что функция $f(x,y,z)$ принадлежит [2] на множестве $\mathfrak B$ и писать $f \in N(\mathfrak B)$, если найдётся такая положительная непрерывная функция $\varphi(u)$, что

$1)\ \forall (x,y,z) \in \mathfrak B \times \mathbb R \Rightarrow |f(x,y,z)| \leqslant \varphi(|z|),$

(2.1)

$2)\ \int_0^\infty \frac{u\, du}{\varphi(u)} = + \infty.$

(2.2)

Определение. Нижним и верхним (барьерными) решениями задачи (1.1—1.2) называются соответственно функции $\underline \omega(x)$ и $\overline \omega(x)$, принадлежащие $C^2[a,b]$, и такие, что

$1) \begin{array}{c} \underline \omega(a) < y^a < \overline \omega(a), \\[.5ex] \underline \omega(b) < y^b < \overline \omega(b); \end{array}$

(3.1)

$2) \begin{array}{c} \underline \omega''(x) > f(x, \underline \omega(x), \underline \omega'(x)), \\[.5ex] \overline \omega''(x) < f(x, \overline \omega(x), \overline \omega'(x)), \end{array} \ \forall x \in [a,b].$

(3.2)

Определение. Классическим решением задачи (1.1—1.2) называется функция $y(x)$, принадлежащая $C^2(a,b) \cap C[a,b]$ и удовлетворяющая уравнению (1.1) при каждом $x \in (a,b)$ и каждому из граничных условий (1.2).

Теорема (Нагумо). Пусть существуют такие нижнее $\underline \omega(x)$ и верхнее $\overline \omega(x)$ решения задачи (1.1—1.2), что

$1)\ \forall x \in [a,b] \Rightarrow \underline \omega(x) < \overline \omega(x),$

(4.1)

$2)\ f(x,y,z) \in C^{0,1,1}(\mathfrak B \times \mathbb R) \cap N(\mathfrak B),$

(4.2)

где $\mathfrak B \equiv [a,b] \times [\underline \omega(x), \overline \omega(x)]$. Тогда существует по крайней мере одно классическое решение $y(x)$ задачи (1.1—1.2), принадлежащее $C^2[a,b]$ и заключённое между барьерными решениями $\underline \omega(x)$ и $\overline \omega(x)$:

$\forall x \in [a,b] \Rightarrow \underline \omega(x) < y(x) < \overline \omega(x).$

(4.3)

Доказательство теоремы

Доказательство теоремы Нагумо опирается на метод стрельбы и использует следующие леммы.

Лемма 1. Пусть $\mathfrak B$ — замкнутая ограниченная область на плоскости $(x,y)$ и пусть $f(x,y,z) \in C(\mathfrak B \times \mathbb R) \cap N(\mathfrak B)$. Тогда любая интегральная кривая уравнения (1.1), проходящая через внутреннюю точку области $\mathfrak B$, может быть продолжена в обе стороны до границы этой области.

  Доказательство леммы 1  

Здесь должно быть доказательство...

Лемма 1 доказана!

См. также

• Метод стрельбы

Примечания

1. ↑ Nagumo M. Über die differenzialgleichung $y'' = f(x,y,y')$. — pp. 864—865.
2. ↑ В работе Ф. Хартмана используется термин функция Нагумо — см. Hartman Ph. On Boundary Value Problems for Systems of Ordinary, Nonlinear, Second Order Differential Equations. — p. 494.

Литература

• Nagumo M. Über die differenzialgleichung $y'' = f(x,y,y')$ (нем.) // Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. 3rd Series. — 1937. — Т. 19. — № 10. — С. 861—866. — ISSN 0370—1239.

• Hartman Ph. On Boundary Value Problems for Systems of Ordinary, Nonlinear, Second Order Differential Equations (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1960. — Т. 96. — № 3. — С. 493—509. — ISSN 0002—9947.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations (англ.) // Journal of the Faculty of Science, the University of Tokyo. Section 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry. — 1965. — Т. 12. — С. 17—43. — ISSN 0368—2269.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, II (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1967. — Т. 10. — № 2 (September). — С. 145—162. — ISSN 0532—8721.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, III (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1968. — Т. 11. — № 2 (November). — С. 111—129. — ISSN 0532—8721.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, IV (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1969. — Т. 11. — № 3 (February). — С. 185—195. — ISSN 0532—8721.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, V (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1970. — Т. 12. — № 3 (February). — С. 239—249. — ISSN 0532—8721.

• Jackson L. K. A Nagumo condition for ordinary differential equations (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1976. — Т. 57. — № 1. — С. 93—96. — ISSN 0002-9939.

• Grossinho M. do Rosário, Minhós F., Santos A. I. Higher order nonlinear two‐point boundary value problems with sign‐type Nagumo condition (англ.) // Mathematical Models in Engineering, Biology and Medicine: International Conference on Boundary Value Problems: Mathematical Models in Engineering, Biology and Medicine (AIP Conference Proceedings) / Editors: Alberto Cabada, Eduardo Liz, Juan J. Nieto. — Melville, N. Y.: AIP, 2009. — Т. 1124. — С. 195—204. — ISBN 978-0-7354-0660-5. — ISSN 0094-243X. — DOI:10.1063/1.3142933

• Bailey P.B., Shampine L.F., Waltman P.E. Chapter 6. Principal Existence Theorems, Chapter 7. Further Existence and Uniqueness Results // Nonlinear Two Point Boundary Value Problems. — 1st Edition. — 111 Fifth Avenue, N. Y.: Academic Press Inc., 1968. — Vol. 44. — 172 p. — (Series Mathematics in Science and Engineering). — ISBN 978-0-12-073350-7

Ссылки

• А.Б. Васильева, Н.Н. Нефедов. Нелинейные краевые задачи.

• М. Нагумо. О дифференциальном уравнении $y'' = f(x,y,y')$ (перевод с немецкого).

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.