РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ТЕОРИЯ

теория распределения значений мероморфных функций, построенная в 20-х гг. 20 в. Р. Неванлинной (R. Nevanlinna, см. [1]), основной задачей к-рой является изучение систем {z_n}точек области G, в к-рых функция принимает заданное значение (так наз. a-т о ч е к); при этом рассматриваются всевозможные значения

Основные понятия. Основные положения неванлинновской теории можно проиллюстрировать на случае, когда является трансцендентной мероморфной функцией во всей открытой комплексной плоскости Пусть n(t, a, f) обозначает число a-точек f(z) с учетом их. кратностей, попавших в круг . И пусть для произвольного комплексного числа а

Функция Т(r, f).наз. н е в а н л и н н о в с к о й х а р а к т е р и с т и к о й (и л и х а р а к т е р ис т и ч е с к о й ф у н к ц и е й) мероморфной функции f(z). Функция m (r, а, f )характеризует скорость среднего приближения f(z) к числу апри , а функция N(r, а, f) характеризует среднюю плотность распределения а-точек f(z). Справедлива следующая теорема, допускающая геометрич. интерпретацию характеристики Т(r, f). Пусть F_r обозначает часть римановой поверхности f(z), соответствующей кругу , а p А (r, f) - сферич. площадь поверхности F_r, тогда

С помощью характеристики Т(r, f) определяются порядок роста р функции f(z) и ее нижний порядок роста l:

П е р в а я о с н о в н а я т е о р е м а Н е в а н л и н н ы: при

т. е. сумма , с точностью до ограниченного при слагаемого, сохраняет постоянное для различных азначение Т(r, f). В этом смысле все значения для мероморфной функции f(z) являются равноправными. Особый интерес представляет поведение при функции N(r, а, f). В Р. з. т. используются следующие количественные характеристики роста функций N(r, а, f) и m (r, а, f) по сравнению с ростом характеристики Т(r, f):

Величина d( а, f) наз. д е ф е к т о м f(z) в т о ч к е ав с м ы с л е Н е в а н л и н н ы, а величина D (а, f) - д е ф е к т о м f(z) в т о ч к е ав с м ы с л е Вал и р о н а. Пусть

Множество D(f) наз. множеством дефектных значений f(z) в смысле Неванлинны, а множество V(f) - множеством дефектных значений f(z) в смысле Валирона. Т е о р е м а Н е в а н л и н н ы о величинах дефектов и о множестве дефектных значений f(z): для произвольной мероморфной функции f(z) справедливы утверждения: а) множество D(f) не более чем счетно; б) дефекты f(z) удовлетворяют соотношению

(1)

(с о о т н о ш е н и е д е ф е к т о в). Постоянная 2, фигурирующая в (1),- это эйлерова характеристика всей замкнутой плоскости , к-рую накрывает риманова поверхность функции f(z).

Структура множества D(f). Утверждение Р. Неванлинны о том, что множество D(f) но более чем счетно, усилить нельзя. Справедлива теорема: каково бы ни было конечное или счетное множество Еточек из расширенной комплексной плоскости и каково бы ни было число r, , существует мероморфная функция порядка r, для к-рой Есовпадает с множеством ее дефектных значений . Для мероморфных функций нулевого нижнего порядка D(f) может содержать самое большее одну точку. Таким образом, вопрос о структуре множества D(f) полностью решен.

Кроме того, показано, что для каждого r>0,5 су-ществует целая функция порядка r, для к-poй множество является счетным. Целые функции нижнего порядка не могут иметь конечных дефектных значении.

Структура множества V(f). Множество валироновских дефектных значений V(f)исследовано (1983) не в полной мере. Ж. Валирон (G. Valiron) показал, что существует целая функция g(z).1-го порядка, для к-рой множество V(g) имеет мощность контиуума. С другой стороны, справедлива теорема: для произвольной мероморфной функции f(z) множество V(f)всегда имеет нулевую логарифмич. емкость.

Для каждого множества Екласса F_s. нулевой логарифмич. емкости существует целая функция g(z) бесконечного порядка, для к-рой E М V(g).

Свойства дефектов мероморфных функций конечного нижнего порядка. Для мероморфных функций бесконечного нижнего порядка величины дефектов, вообще говоря, не удовлетворяют никаким дополнительным соотношениям, кроме основного соотношения (1). Однако если ограничиться рассмотрением мероморфных функций конечного нижнего порядка, то картина резко меняется. Справедлива теорема: если f(z) имеет конечный нижний порядок l, то при любом

(2)

где постоянная К(l,a) зависит лишь от lи a. С другой стороны, существуют мероморфные функции конечного нижнего порядка, для к-рых при ряд, стоящий слева в (2), уже может расходиться. Наличие у мероморфной функции f(z) нижнего порядка одного дефектного значения атакого, что влияет на ее асимптотич. свойства: такая функция не может иметь других дефектных значений.

Обратная задача Р. з. т. В несколько упрощенном виде обратную задачу Р. з. т. в каком-либо классе мероморфных функций можно сформулировать в следующем виде. Каждой точке нек-рой последовательности из расширенной комплексной плоскости поставлено в соответствие число , так, что . Требуется указать мероморфную функцию такую, что , и d(a, f)=0 для каждого , k=l, 2, ... , либо доказать отсутствие таких функций в . Обратная задача полностью решена положительно в классе целых функций бесконечного нижнего порядка и в классе мероморфных функций бесконечного нижнего порядка. При решении обратной задачи в классе мероморфных функций конечного нижнего порядка возникают определенные трудности, к-рые объясняются тем, что в этом случае величины дефектов, кроме основного соотношения (1), подчинены еще другим соотношениям (см. (2)).

Рост мероморфных функций. Пусть для мероморфной функции f(z)

Величина b( а, f) наз. в е л и ч и н о й о т к л о н е н и я мероморфной функции f(z) от числа а, а множество наз. множеством положительных отклонений мероморфной функции f(z); Доказано, что если g(z) - целая функция конечного порядка r, то

Справедлива также теорема: если мероморфная функция f(z) имеет конечный нижний порядок l, то а) множество W (f) не более чем счетно; б) для каждого а

в) при любом. .

где постоянная К(l,a) зависит лишь от lи a;

г)

Кроме этого, существуют мероморфные функции бесконечного нижнего порядка, для к-рых множество W (f) имеет мощность континуума. Множество W (f) (подобно V(f))Для каждой мероморфной функции f(z) имеет нулевую логарифмич. емкость. Следующая теорема характеризует отличия в свойствах величин d ( а, f) и b (a, f): для любого , существует мероморфная функция f_l (z) нижнего порядка l, для к-рой при нек-ром а выполняются соотношения

и

Исключительные значения мероморфных функций в смысле Пикара и Бореля. Значение аназ. исключительным значением мероморфной функции f(z) в смысле Пикара, если число а-точек f(z) при конечно. Значение аназ. исключительным значением f(z) в смысле Бореля, если (r, а, f) при растет в определенном смысле медленнее Т(r, f). Каждая мероморфная функция, отличная от постоянной, не может иметь более двух борелевских (а значит, и пикаровских) исключительных значений.

Успешно развивается теория распределения значений голоморфных отображений комплексных многообразий - многомерный аналог теории Неванлинны (см. [6], |7]), а также теория распределения значений минимальных поверхностей (см. [9], [10]).

Распределение значений функций, мероморфных в круге. Выше описана теория распределения значений мероморфных во всей открытой плоскости функций; это параболич. случай. Теория роста и распределения значений построена также и для случая гиперболического, т. е. когда f(z) является функцией, мероморфной в единичном круге (см. [1], |8]). При этом функции N(r, а, f), т(r, а, f), L(r, а, f) и Т(r, f) определяются для каждого , точно так же, как и в параболическом случае. Дефект f(z) в точке ав смысле Неванлинны и в смысле Валирона определяется соответственно так:

А величина

наз. величиной отклонения f(z) относительно значения а. Пусть

и

Основные положения параболич. случая о величинах d (а, f), D (a, f) и b(а, f), а также о структуре множеств D(f), V(f) и W (f) сохраняются и в гиперболич. случае, но не для всех функций, а лишь для функций с быстро растущей (в определенном смысле) при характеристикой Т(r, f).

Лит.:[1] Н е в а н л и н н а Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.-Л., 1941; [2] Х е й м а н У. <К., Мероморфные функции, пер. с англ., М., 1966; [3] А р а к е л я н Н. У., "Докл. АН СССР", 1966, т. 170, №5, с. 999 - 1002; [4] Г о л ь д б е р г А. А., О с т р о в с к и й И. В., Распределение значении мероморфных функций, М., 1970; [5] II е т р е н к о В. П., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1969, т. 33, № 6, с. 1330- 1348; 1970, т. 34, № 1, с. 31 -56; [6] Г р и ф ф и т с Ф., К и н г Д ж., Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических многообразий, пер. с англ., М., 1976; [7] Ш а б а т Б. В.,

Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976; [8] П е т-р е н к о В. П., Рост мероморфных функций, Хар., 1978; [9] е г о ж е, "Докл. АН СССР", 1981, т. 256, № 1, с. 40-42; [10] B e c k e n b a c h E. F.. H u t c h i s o n G. A., "Pacific J. Math.", 1969, v. 28, № 1, p. 17-47. В. П. Петренко.