Теорема Вика для функционального интеграла

Теорема Вика для функционального интеграла — это обобщение теоремы Вика для многочлена от координат многомерного Гауссового вектора на случай континуального распределения Гаусса. Широко используется в в аппарате функциональных интегралов.

Формулировка

Теорема.

Пусть случайное поле $\varphi(X)$ отвечает континуальному распределению Гаусса с нулевым матожиданием, т.е. $\langle \varphi(X) \rangle = 0$. Тогда для средних значений произведений величин вида $\varphi_i = \varphi(X_i)$ верно следующее:

$\langle \varphi_1 \cdot \ldots \cdot \varphi_N \rangle = \sum \langle \varphi_{i_{1}} \varphi_{j_{1}} \rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi_{i_{N/2}} \varphi_{j_{N/2}} \rangle,$

если $N$ чётное, и

$\langle \prod_{i \in I} \varphi_i \rangle = 0,$

если $N$ нечётное.

Под $\langle \varphi_{i_{1}} \varphi_{j_{1}} \rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi_{i_{N/2}} \varphi_{j_{N/2}} \rangle$ подразумевается разбиение множества $\{ 1, \ldots, N \}$ на $N/2$ пар $(i_{k}, j_{k})$, суммирование же идёт по всем возможным различным разбиениям $\{ 1, \ldots, N \}$ на такие пары.

Примеры

Для произведения 4 элементов: $\langle \varphi_1 \cdot \varphi_2 \cdot \varphi_3 \cdot \varphi_4 \rangle = \langle \varphi_1 \cdot \varphi_2 \rangle \cdot \langle \varphi_3 \cdot \varphi_4 \rangle + \langle \varphi_1 \cdot \varphi_3 \rangle \cdot \langle \varphi_2 \cdot \varphi_4 \rangle + \langle \varphi_1 \cdot \varphi_4 \rangle \cdot \langle \varphi_2 \cdot \varphi_3 \rangle$.

Для произведения 6 элементов:

$\langle \varphi_1 \cdot \varphi_2 \cdot \varphi_3 \cdot \varphi_4 \cdot \varphi_5 \cdot \varphi_6 \rangle = \sum \langle \varphi_i \cdot \varphi_j \rangle \cdot \langle \varphi_k \cdot \varphi_l \rangle \cdot \langle \varphi_m \cdot \varphi_n \rangle$,

причём суммирование производится по всем возможным спариваниям $(i, j), (k, l), (m, n)$ выбранным из множества $\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$, например, $(1, 3), (2, 5), (4, 6)$ или $(1, 5), (2, 4), (3, 6)$ (всего таких спариваний 60).

Аналогично для случаев 8 и более элементов

Использование

Известно, что если Гауссова плотность распределения описывается формулой

$\rho \left[ \varphi \right] = C \exp \left\{ -\frac{\varphi K \varphi}{2} \right\}$,

то

$\langle \varphi_1 \cdot \varphi_2 \rangle = \langle \varphi(X_1) \cdot \varphi(X_2) \rangle = K^{-1}(X_1, X_2)$.

То есть любую корреляционную функцию $G(X_1, \ldots, X_N) = \langle \varphi(X_1), \ldots, \varphi(X_N) \rangle$ можно по теореме Вика выразить через комбинации $K^{-1}$, т.е., например

$G(X_1, X_2, X_3, X_4) = K^{-1}(X_1, X_2) \cdot K^{-1}(X_3, X_4) + K^{-1}(X_1, X_3) \cdot K^{-1}(X_2, X_4) + K^{-1}(X_1, X_4) \cdot K^{-1}(X_2, X_3)$.

Смотри также

• Континуальное распределение Гаусса
• Производящий функционал
• Функциональный интеграл

Литература

• Васильев А.Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — Издательство Петербургского института ядерной физики (ПИЯФ), 1998. — ISBN 5-86763-122-2

У этой статьи нет иллюстраций. Вы можете помочь проекту, добавив их (с соблюдением правил использования изображений). Для поиска иллюстраций можно: попробовать воспользоваться инструментом FIST: нажмите эту ссылку, чтобы начать поиск; попытаться найти изображение на Викискладе; просмотреть иноязычные варианты статьи (если они есть); см. также Википедия:Источники изображений.