- Производящий функционал
-
Производящий функционал — это расширение понятия производящей функции моментов для одномерного / конечномерного распределения Гаусса на континуальное распределение Гаусса.
Содержание
Определение
Производящий функционал корреляционных функций определяется следующим образом:
где — усреднение по ансамблю. Без сокращений определение производящего функционала для нормированного на 1 континуального распределения Гаусса с квадратичной формой выглядит следующим образом:
.
Однако же, обычно это определение записывают в сокращённом виде, опуская значки и интегрирования:
Связь корреляционных функций с производящим функционалом
Поскольку определение корреляционных функций выглядит следующим образом:
связь между производящим функционалом и корреляционными фунциями получается:
где — вариационная производная. Данная формула является полной аналогией формулы вычисления моментов через производящую функцию моментов для конечномерного распределения Гаусса.
Вычисление корреляционных функций
Для континуальных интегралов выполняется следующая формула:
.
Видно, что её левая часть — определение (с точностью до нормировки) производящего функционала . Тогда для парной корреляционной функции получим
То есть
Другие виды производящих функционалов
Ясно, что определённый так как приведено выше функционал
сохранит производящие свойства и для других распределений не зависящих от параметра . Поскольку существует целый класс физических теорий, плотность распределения в которых задаётся «почти квадратичным» функционалом действия :
где — мало, для них определяются собственные производящие функционалы с разным физическим смыслом. Они называются производящими функционалами функций Грина. Среди них: функционал полных функций Грина
связных функций Грина
и 1-неприводимых функций Грина
Свои названия они получили из-за того, что их разложение согласно теории возмущений по малому параметру (т.н. константе связи) в диаграммном представлении состоит для из всех возможных для данной теории диаграмм, для только из связных, а для только из 1-неприводимых.
Смотри также
- Теорема Вика для функционального интеграла
- Континуальное распределение Гаусса
- Функциональный интеграл
Примечания
- ↑ 1 2 Васильев, 1998, с. 139-143
- ↑ Васильев, 1998, с. 147
Литература
- Васильев А.Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — Издательство Петербургского института ядерной физики (ПИЯФ), 1998. — ISBN 5-86763-122-2
Категории:- Квантовая теория поля
- Статистическая физика
Wikimedia Foundation. 2010.