Континуальное распределение Гаусса

Континуальное распределение Гаусса было введено в квантовой теории поля как расширение понятия распределения Гаусса для конечномерных векторов на континуальные пространства скалярных и векторных полей. Континуальное распределение активно используется в аппарате функциональных интегралов.

Определение

Рассмотрим поле $\varphi_{i,j,k,\dots}(x_1,x_2,\dots)$ из некоторого пространства $E$, определяемого условиями задачи (как правило, задача определяет условия вроде гладкости и убывания на бесконечности). В общем случае $\varphi_{i,j,k,\dots}(x_1,x_2,\dots)$ имеет произвольное количество значков и аргументов. Обозначив множество значков поля как $I = (i,j,k,\dots)$, а набор аргументов как $X = (x_1, x_2, \dots)$, нормальной (Гауссовой) плотностью распределения назовём функционал

$\rho \left[ \varphi \right] = C \exp \left\{ -\frac{1}{2} \iint\limits_{\Omega^2} \! \mathrm{d} X_{1} \, \mathrm{d} X_{2} \, \varphi_{I_{1}} (X_{1}) \cdot K_{I_{1}, I_{2}}(X_{1}, X_{2}) \cdot \varphi_{I_{2}} (X_{2}) \right\}$,

где $\Omega$ — область определения аргументов поля $X$, по наборам значков $I_1$ и $I_2$ подразумевается суммирование, $K_{I_{1}, I_{2}}(X_{1}, X_{2})$ — ядро некоторого дифференциально-интегрального оператора $K: E \longrightarrow E$, а $C$ — нормировочная константа.

Это определение, как правило, записывают более коротко, опуская значки, аргументы и интегрирования:

$\rho \left[ \varphi \right] = C \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) \right\} = C \exp \left\{ -\frac{\varphi K \varphi}{2} \right\}$.

Средние значения

Пусть мы хотим вычислить среднее значение некоторой величины (функции состояния) $F[\varphi]$. Введём операцию усреднения $\langle \dots \rangle$

$\langle F \rangle = \int\limits_{E} \! \mathcal{D}\varphi \, \rho \left[ \varphi \right] F[\varphi]$

В правой части выражения написан функциональный (континуальный) интеграл (подробнее см. Функциональный интеграл).

Вычисление континуальных Гауссовых интегралов

Для континуальных Гауссовых интегралов работает обобщение формулы для n-мерных Гауссовых интегралов на континуальный случай:

$\int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + \left( A, \varphi \right) \right\} = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{-1/2} \exp \left\{ \frac{(A, K^{-1} A)}{2} \right\}$.

Условие и константа нормировки

Вводя условие нормировки

$\int \! \mathcal{D}\varphi \, \rho \left[ \varphi \right] = 1$

и используя формулу из предыдущего пункта, получим

$C = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{1/2}$.

См. также

• Теорема Вика для функционального интеграла
• Производящий функционал
• Функциональный интеграл

Литература

• Ричард Филлипс Фейнман, Альберт Р. Хиббс Квантовая механика и интегралы по траекториям. — Изд-во "Мир", 1968.