Формула Вика

Формула Вика — формула теории вероятностей, выражающая математическое ожидание многочлена от координат гауссовского вектора через элементы матрицы ковариаций. Одним из её применений является связь между средним значением полинома от следов степеней случайной матрицы большого размера и родами поверхностей, получаемыми склейкой заданных многоугольников при различных отождествлениях сторон. ^[1]

Формулировка

Теорема.

Пусть $(x_1,\dots,x_k)$ — гауссов вектор с нулевым математическим ожиданием, $f_1,\dots,f_{2n}$ — линейные функции от $x_1,\dots,x_k$. Тогда

$E ( f_1 \cdot \dots\cdot f_{2n} ) = \sum \left(E (f_{p_1} f_{q_1}) \right) \cdot \dots \cdot \left(E (f_{p_n} f_{q_n}) \right),$

где суммирование в правой части ведётся по всем разбиениям множества $\{1,\dots,2n\}$ на пары $(p_i,q_i)$ с

$p_1<\dots<p_n, \quad \forall i \quad p_i<q_i$

(тем самым, каждое разбиение оказывается посчитано ровно один раз).^[2]

Примеры

В качестве пояснения формулировки теоремы приведём несколько примеров:

$E(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4) = E(x_1 \cdot x_2)\cdot E(x_3 \cdot x_4) + E(x_1 \cdot x_3)\cdot E(x_2 \cdot x_4) + E(x_1 \cdot x_4)\cdot E(x_2 \cdot x_3)$ $E(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 \cdot x_5 \cdot x_6) = E(x_1 \cdot x_2)\cdot E(x_3 \cdot x_4\cdot x_5 \cdot x_6) + E(x_1 \cdot x_3)\cdot E(x_2 \cdot x_4\cdot x_5 \cdot x_6) + E(x_1 \cdot x_4)\cdot E(x_3 \cdot x_2 \cdot x_5 \cdot x_6) + E(x_1 \cdot x_5)\cdot E(x_3 \cdot x_4\cdot x_2 \cdot x_6) + E(x_1 \cdot x_6)\cdot E(x_3 \cdot x_4\cdot x_5 \cdot x_2)$

Ссылки

1. ↑ A. Okounkov, Random Matrices and Random Permutations, с. 10
2. ↑ S. K. Lando, A. K. Zvonkin, Embedded graphs, записки курса, Theorem 3.3.8.