- Теорема Вигнера
-
Теорема Вигнера — Эккарта — теорема из теории представлений и квантовой механики. В ней говорится, что матричный элемент сферического оператора операторов в базисе собственных функций оператора углового момента может быть представлен в виде произведения двух величин, одна из которых не зависит от проекций углового момента, а другая является коэффициентом Клебша — Гордана. Название теоремы образовано от имён Юджина Вигнера и Карла Эккарта, которые разработали конструкцию, связывающий симметрию преобразования групп пространства с законами сохранения энергии, импульса и момента импульса.[1]
Теорема Вигнера — Эккарта формулируется так:
где
сферический тензор ранга
,
и
есть собственные функции полного углового момента
и его z-компоненты
,
не зависит от
и
, и
коэффициенты Клебша — Гордана сложения
и
для получения
.
Как следствие, Теорема Вигнера — Эккарта говорит нам, что действие сферического тензорного оператора ранга
на собственную функцию углового момента есть то же самое, что добавление состояния с угловым моментом
к исходному состоянию. Матричные элементы, находимые для сферического тензорного оператора, пропорциональны коэффициентам Клебша — Гордана, которые возникают при сложении двух угловых моментов.
Пример
Рассмотрим среднее значение координаты
. Этот матричный элемент является средним значением оператора координаты в сферически-симметричном базисе собственных состояний атома водорода. Отыскание этих матричных элементов является нетривиальной задачей. Однако, использование теоремы Вигнера — Эккарта упрощает эту задачу. (В действительности возможно получить решение сразу же, используя чётность.)
Известно, что
— одна из компонент вектора
. Векторы являются тензорами первого ранга, таким образом
является некоторой линейной комбинацией
, где
. Можно показать, что
, где сферические тензоры[2] определены таким образом:
и
(знаки должны быть выбраны согласно определению[3] сферического тензора ранга
. Следовательно,
пропорциональны только лестничным операторам). Поэтому
Выражения выше дают нам матричные элементы для
в базисе
. Чтобы найти среднее значение, положим
,
, и
. Правила отбора для
и
таковы:
для сферических тензоров
. Как только
, коэффициенты Клебша — Гордана обращаются в нуль, что ведет к равенству нулю средних значений.
Примечания
- ↑ Eckart Biography- The National Academies Press
- ↑ J. J. Sakurai: «Modern quantum mechanics» (Massachusetts, 1994, Addison-Wesley)
- ↑ J. J. Sakurai: «Modern quantum mechanics» (Massachusetts, 1994, Addison-Wesley)
Ссылки
- J. J. Sakurai, (1994). «Modern Quantum Mechanics», Addison Wesley, ISBN 0-201-53929-2.
- Weisstein, Eric W. Wigner–Eckart theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Wigner-Eckart theorem
- Tensor Operators
Категории:- Квантовая механика
- Теория представлений
Wikimedia Foundation. 2010.