Теорема Вольда

В математической статистике теорема Вольда утверждает, что каждый слабо стационарный временной ряд можно представить в виде скользящего среднего бесконечного порядка (MA($\infty$)). Такое представление называют представлением скользящим средним для временных рядов (не путать с простым скользящим средним последовательности данных). Формально,

$Y_t=\sum_{j=0}^\infty b_j \varepsilon_{t-j}+\eta_t,$

где:

• $Y_t \,$ — рассматриваемый временной ряд,

• $\varepsilon_t$ — некореллированый процесс which is the innovation process to the process $Y_t \,$, то есть белый шум на входе линейного фильтра {$b_{j}$}.

• $b_j \,$ — (возможно бесконечная) последовательность коэффициентов скользящего среднего (параметров или весов)

• $\eta_t \,$ — детерминированная компонента. Равна нулю, если у $Y_{t}$ нет трендов.

Коэффициенты $b_j \,$ удовлетворяют следущим условиям:

1. ряд $b_j \,$ сходится абсолютно: $\sum_{j=1}^{\infty}|b_{j}|$ < $\infty$
2. отсутствуют члены с j < 0
3. Minimum delay
4. постоянны (не зависят от t)
5. принято полагать $b_0 = 1$