Дифферинтеграл Римана

В математике, дифферинтеграл Римана — Лиувилля отображает вещественную функцию $f\colon\R\to\R$ в другую функцию $I^\alpha f$ того же типа для каждого значения параметра $\alpha>0$. Данный дифферинтеграл является обобщением повторной первообразной от $f$ в том смысле, что для целых положительных значений $\alpha$, $I^\alpha f$ представляет собой повторную производную функции $f$ порядка $\alpha$. Дифферинтеграл Римана — Лиувилля назван в честь Бернхарда Римана и Жозефа Лиувилля, последний из которых был первым, кто рассмотрел возможность дробного исчисления в 1832 году.^[1] Данный оператор согласуется с преобразованием Эйлера при действии на аналитические функции.^[2] Он был обобщён на произвольные размерности Марцелем Риесом, который ввёл потенциал Риеса.

Интеграл Римана — Лиувилля определяется как:

$I^\alpha f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int\limits_a^xf(t)(x-t)^{\alpha-1}\,dt,$

где $\Gamma$ — гамма-функция, а $a$ — произвольная, но фиксированная точка отсчёта. То что данный интеграл хорошо определён обеспечивается локальной интегрируемостью функции $f$, $\alpha$ — комплексное число в полуплоскости $\mathrm{Re}\,\alpha>0$. Зависимость от точки отсчёта $a$ часто не существенна и представляет собой свободу в выборе константы интегрирования. $I^1 f$ конечно же является первообразной (первого порядка) функции $f$, для целых положительных значений $\alpha$ $I^\alpha f$ представляет собой первообразную порядка $\alpha$ в соответствии с формулой повторного интегрирования Коши. В других обозначениях, подчёркивающих зависимость от точки отсчёта имеет вид^[3]:

${}_a\mathbb{D}_x^{-\alpha}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int\limits_a^x f(t)(x-t)^{\alpha-1}\,dt.$

Данное выражение имеет смысл и при $a=-\infty$, с соответствующими ограничениями на $f$.

Фундаментальными соотношениями остаются:

$\frac{d}{dx}I^{\alpha+1}f(x)=I^\alpha f(x),\quad I^\alpha(I^\beta f)=I^{\alpha+\beta}f,$

последние из которых представляет собой полугрупповое свойство.^[1] Эти свойства позволяют не только определить дробное интегрирование, но и дробное дифференцирование посредством взятия достаточного числа производных функции $I^\alpha f$.

Свойства

Пусть $(a,\;b)$ — фиксированный ограниченный интервал. Оператор $I^\alpha$ отображает любую интегрируемую функцию $f$ на $(a,\;b)$ в функцию $I^\alpha f$ на $(a,\;b)$, которая также интегрируем по теореме Фубини. Таким образом, $I^\alpha$ определяет линейный оператор на пространстве $L^1(a,\;b)$:

$I^\alpha\colon L^1(a,\;b)\to L^1(a,\;b).$

Из теоремы Фубини также следует, что этот оператор непрерывен относительно структуры банахова пространства на $L^1$. Таким образом, верно следующее неравенство:

$\|I^\alpha f\|_1\leqslant\frac{|b-a|^{\mathrm{Re}\,\alpha}}{\mathrm{Re}\,\alpha\,|\Gamma(\alpha)|}\|f\|_1.$

Здесь $\|\cdot\|_1$ обозначает норму в $L^1(a,\;b)$.

В более общем случае, из неравенства Гёльдера следует, что если $f$ принадлежит $L^p(a,\;b)$, то и $I^\alpha f$ также принадлежит $L^p(a,\;b)$ и выполняется аналогичное неравенство:

$\|I^\alpha f\|_p\leqslant\frac{|b-a|^{\mathrm{Re}\,\alpha\,/\,p}}{\mathrm{Re}\,\alpha\,|\Gamma(\alpha)|}\|f\|_p,$

где $\|\cdot\|_p$ — норма в пространстве $L^p$ на интервале $(a,\;b)$. Таким образом, $I^\alpha$ определяет ограниченный линейный оператор из $L^p(a,\;b)$ в себя. Более того, $I^\alpha f$ стремится к $f$ в $L^p$-смысле при $\alpha\to0$ вдоль вещественной оси. То есть:

$\lim_{\alpha\to 0+}\|I^\alpha f-f\|_p=0$

для всех $p\leqslant 1$. Кроме того, оценивая максимальную функцию оператора $I$ можно доказать поточечную сходимость $I^\alpha f\to f$ почти всюду.

Оператор $I^\alpha$ хорошо определён на множестве локально-интегрируемых функций на всей действительной прямой $\R$. Он определяет ограниченное отображение на любом банаховом пространстве функций экспоненциального типа $X_\sigma=L^1(e^{-\sigma|t|}\,dt)$, состоящего из локально-интегрируемых функций для которых норма

$\|f\|=\int\limits_{-\infty}^\infty|f(t)|e^{-\sigma|t|}\,dt$

конечна. Для $f$ из $X_\sigma$ преобразование Лапласа функции $I^\alpha f$ принимает особенно простую форму:

$(\mathcal{L}I^\alpha f)(s)=s^{-\alpha}F(s),$

где $\mathrm{Re}\,s>\sigma$. Здесь через $F(s)$ обозначено преобразование Лапласа функции $f$ и это свойство выражает тот факт, что $I^\alpha$ представляет собой Фурье-мультипликатор.

Дробные производные

Можно также определить производные дробного порядка от функции $f$:

$\frac{d^\alpha}{dx^\alpha}f\overset\mathrm{def}{=}\frac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{dx^{\lceil\alpha\rceil}}I^{\lceil\alpha\rceil-\alpha}f,$

где через $\lceil\cdot\rceil$ обозначена операция взятия целой части. Можно также получить дифферинтегральную интерполяцию между дифференцированием и интегрированием определяя:

$\mathbb{D}^\alpha_x f(x)= \begin{cases} \dfrac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{dx^{\lceil\alpha\rceil}}I^{\lceil\alpha\rceil-\alpha}f(x), & \alpha>0; \\ f(x), & \alpha=0; \\ I^{-\alpha}f(x), & \alpha<0. \end{cases}$

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Lizorkin 2001
2. ↑ Brychkov & Prudnikov 2001
3. ↑ Miller & Ross 1993, p. 21

Ссылки

• Brychkov, Yu. A.; Prudnikov, A. P. (2001), «Euler transformation», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
• Hille, Einar & Phillips, Ralph S. (1974), «Functional analysis and semi-groups», Providence, R.I.: American Mathematical Society .
• Lizorkin, P. I. (2001), «Fractional integration and differentiation», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
• Miller, Kenneth S. & Ross, Bertram (1993), «An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations», John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9 .
• Riesz, Marcel (1949), "«L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy»", Acta mathematica Т. 81 (1): 1–223, ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02395016 .

Ссылки

• Alan Beardon Fractional calculus II. University of Cambridge (2000). Архивировано из первоисточника 17 мая 2012.
• Alan Beardon Fractional calculus III. University of Cambridge (2000). Архивировано из первоисточника 17 мая 2012.