Дробное интегро-дифференцирование

Дробное интегро-дифференцирование в математическом анализе — объединённый оператор дифференцирования/интегрирования, порядок которого может быть произвольным вещественным или комплексным числом. Используется в дробном математическом анализе. Сам по себе оператор служит для обозначения операции взятия производной/интеграла дробного порядка.

Обычно оператор обозначается следующим образом: $\mathbb{D}^q_t.$

Определения

Три наиболее употребительных формулы:

• Дифферинтеграл Римана — Лиувилля

Самая простая и часто употребляемая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.

${}_a\mathbb{D}^q_t\,f(t)$	$=\frac{d^q\,f(t)}{d(t-a)^q}=$
	$=\frac{1}{\Gamma(n-q)}\frac{d^n}{dt^n}\int\limits_a^t (t-\tau)^{n-q-1}f(\tau)\,d\tau.$

• Дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова

${}_a\mathbb{D}^q_t\,f(t)$	$=\frac{d^q\,f(t)}{d(t-a)^q}=$
	$=\lim_{N\to\infty}\left[\frac{t-a}{N}\right]^{-q}\sum_{j=0}^{N-1}(-1)^j{q\choose j}f\left(t-j\left[\frac{t-a}{N}\right]\right).$

• Интегро-дифференцирование Вейля

Формально похоже на интегро-дифференцирование Римана — Лиувилля, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.

Определения через преобразования

Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как $\mathcal{F}$:

$F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,dt.$

В Фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:

$\mathcal{F}\left[\mathbb{D}f(t)\right]=\mathcal{F}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=i\omega\mathcal{F}[f(t)].$

Поэтому,

$\mathbb{D}f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{(i\omega)\mathcal{F}[f(t)]\right\},$

что сводится к

$\mathbb{D}^q\,f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{(i\omega)^q\mathcal{F}[f(t)]\right\}.$

При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном $\mathcal{L}$, дифференцирование заменяется умножением

$\mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=s\mathcal{L}[f(t)].$

Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно $\mathbb{D}^q f(t)$, получаем

$\mathbb{D}^q\,f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{s^q\mathcal{L}[f(t)]\right\}.$

Основные свойства

• Линейность:

$\mathbb{D}^q_t\,(f(t)+g(t))=\mathbb{D}^q_t\,f(t)+\mathbb{D}^q_t\,g(t);$

$\mathbb{D}^q_t\,(af(t))=a\,\mathbb{D}^q_t\,f(t).$

• Правило нуля:

$\mathbb{D}^0_t\,t=t.$

• Дробное интегро-дифференцирование произведения:

$\mathbb{D}^q_t\;(f(t)g(t))=\sum_{j=0}^\infty{q\choose j}\mathbb{D}^j_t\,f(t)\,\mathbb{D}^{q-j}_t g(t).$

• Полугрупповое свойство:

$\mathbb{D}^a_t\mathbb{D}^b_t\,f(t)=\mathbb{D}^{a+b}_t f(t).$

в общем случае не выполняется^[1].

Некоторые важные формулы

• $\mathbb{D}^q(t^n)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+1-q)}t^{n-q};$
• $\mathbb{D}^q(\sin(t))=\sin\left(t+\frac{q\pi}{2}\right);$
• $\mathbb{D}^q(e^{at})=a^qe^{at}.$

См. также

• Дифференциальный оператор
• Дробная производная
• Дробная динамика

Ссылки

• Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
• Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. — Москва: Наука, 2005. — 199 с.
• Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 272 с. — 5-9 221-0 440-3 экз.
• Учайкин В. В. Метод дробных производных. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с. — 400 экз. — ISBN 978-5-904198-01-5

• Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. — Москва, Ижевск: РХД, 2011. — 568 с.

• A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. (Elsevier, Amsterdam, 2006).
• S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives Theory and Аpplications. (Gordon and Breach, New York, 1993).
• K. Miller, B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. (Wiley, New York, 1993).
• I. Podlubny, Fractional Differential Equations. (Academic Press, San Diego, 1999).
• A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Application of Fractional Differential Equations. (Elsevier, Amsterdam, 2006).
• B. Ross, «A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus» Lect. Notes Math. Vol.457. (1975) 1-36.

Журналы

• Fractional Calculus and Applied Analysis, An International Journal for Theory and Applications
• Fractional Differential Equations (FDE)
• Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)

Примечания

1. ↑ см. Свойство 2.4 (стр. 75) в книге Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Elsevier, 2006.