- Функция Грина для случайно-неоднородной среды
-
Главным образом, интерес к вопросу распространения волн в случайно-неоднородных средах (какой является, например, атмосфера) можно объяснить бурным развитием спутниковых технологий. В этом случае становится важной задача расчета характеристик (например, амплитуды) волны прошедшей через среду и установления их связей с параметром неоднородности среды. Важную роль здесь и играет фукция Грина для случайно-неоднородной среды, зная которую можно определить эти характеристики. Рассматривается прохождение света через среду с флуктуирующей диэлектрической проницаемостью.
Содержание
Волновое уравнение в случайно неоднородной среде. Функция Грина.
Рассеяние электромагнитных волн в такой среде определяется системой уравнений Максвелла. Основные отличительные черты рассеяния можно рассматривать для упрощенной модели: скалярного поля
. Этим скалярным полем заменяются напряженности электрического и магнитного полей, тогда
удовлетворяет волновому уравнению:
,
где
—скорость света в вакууме,
—среднее значение диэлектрической проницаемости,
—флуктуации диэлектрической проницаемости. Обратим внимание, что среднее значение диэлектрической проницаемости
предполагается не зависящим от координат и времени, то есть в среднем система однородна и изотропна, так же с хорошей точностью в первом приближении можно считать, что и не усредненная диэлектрическая проницаемость
не зависит от времени. Это объясняется тем, что характерные времена, отвечающие за молекулярные процессы в системе, на несколько порядком больше характерных времен электромагнитного поля, среда как бы не успевает "среагировать" на изменение поля.
Волновое уравнение с такой диэлектрической проницаемостью на самом деле является примером стохастического уравнения, так как в нем присутствует случайный параметр
. Этот параметр входит в уравнение с помощью умножения, то есть мультипликативно, а не с помощью сложения (аддитивно), как в известном уравнении для броуновского движения.
Описывая рассеяние, интересны характеристики поля
, усредненные по флуктуациям диэлектрической проницаемости. Эти характеристики: среднее значение поля
и интенсивность
, которую определяет средний квадрат поля (усреднение так же ведется по флуктуациям диэлектрической проницаемости)
. Статистику флуктуаций считаем заданной, а также учитываем, что усредненное отклонение от стреднего значения диэлектрической проницаемости равно нулю:
Начальное однородное волновое уравнение всегда имеет решение в виде
.Это очевидное тривиальное решение. Легко показать, что при отсутствии флуктуаций ненулевым решением является плоская монохроматическая волна вида:
. Подставим это выражение в волновое уравнение. Получаем:
. Отсюда ясно, что предложенное решение будет удовлетворять уравнению, если частота плоской волны
и волновой вектор
связанны дисперсионным соотношением:
Понятно, что любая линейная комбинация волн, отвечающих дисперсионному соотношению, тоже является решением волнового уравнения в отсутствие флуктуаций диэлектрической проницаемости.
Определим функцию Грина
. Пусть эта функция является решением начального волнового уравнения , в правую часть которого добавлен расположенный в начале координат монохроматический источник (частота источника
). Полагаем, что источник "адиабатически включился в бесконечно далеком прошлом", для этого дополним правую часть множителем
, где
-маленькая положительна величина. В окончательных выражениях будем устремлять её к нулю. Итого функция Грина удовлетворяет уравнению:
Удобно искать решение этого уравнения в виде
. Подставляя это выражение в уравнение для функции Грина, получаем:
От двойного дифференцирования экспоненты по времени появится множитель
, тогда получаем уравнение на функцию
:
Нужно решить это уравнение для некоторой диэлектрической проницаемости
а затем усреднить это решение по всевозможным отклонениям
. Но оказывается, что нет возможности получить решение этого уравнения при произвольной диэлектрической проницаемости, поэтому решение ищется с использованием теории возмущений, полагая отклонение
-малой величиной.
Функция Грина для среды без флуктуаций.
Для начала необходимо найти функцию Грина
, отвечающую волновому уравнению без отклонений диэлектрической проницаемоcти, то есть
:
(1) .
Снова ищем решение в виде
.Тогда
удовлетворяет уравнению:
(2) где величиной
мы обозначили
. Видно, что у
присутствует мнимая положительная часть, далее нам это понадобится. Уравнение
удобно решать с помощью преобразования Фурье вида:
(3) (4) Выражение
—прямое Фурье-преобразование,
—Фурье-образ функции
, выражение
—обратное Фурье-преобразование. Образ функции Грина
будем обозначать через
. Делая Фурье-преобразования в уравнении
и учитывая, что
-функция является Фурье-преобразованием от единицы, получаем:
(5) (6) Чтобы получить функцию
делаем обратное Фурье-преобразование от
:
(7) Будем вычислять этот интеграл в сферической системе координат, выбрав полярную ось вдоль вектора
(под полярной осью, понимается ось, от которой отсчитывается угол
) :
Для вычисления интеграла по сферическим координатам, мы воспользовались четностью функции
, а также последние интегралы брались по вычетам. Для первого слагаемого контур интегрирования замыкался сверху, в этой полуплоскости затухает
, тогда вычет берется в
. Для второго слагаемого замыкали контур в нижней полуплоскости, и тогда срабатывает вычет в точке
, при этом необходимо не забыть, что контур обходится по часовой стрелке, тогда как в теореме по вычетам используется обход против часовой стрелки. Нарправление обхода можно легко изменить, добавив во втором слагаемом множитель
.
Итоговое выражение для функции Грина будет:
. Это расходящаяся сферическая волна. Амплитуда этой волны убывает как
по мере удаления от источника.
Функция Грина с учетом флуктуаций.
Перепишем уравнение
в виде
Для использования теории возмущения, в которой мы будем считать
малой величиной удобнее перейти к интегральному аналогу предыдущего уравнения:
Тогда можно легко написать итерационное решение в виде ряда:
Величина
——случайная величина. В дальнейшем её необходимо усреднять по всевозможным флуктуациям диэлектрической проницаемости. Это представляет собой следующий трудоемкий шаг.
Примечания
Литература
- С. М. Рытов, Ю. А. Кравцов, В. И. Татарский Введение в статистическую радиофизику, ч. 2, Случайные поля. М.: Наука, 1978
- А. Исимару Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах, Т.1, 2. М.:Мир, 1981
Категория:- Статистическая физика
Wikimedia Foundation. 2010.