Атлас (топология)

У этого термина существуют и другие значения, см. Атлас.

Атлас — понятие дифференциальной геометрии, позволяющие вводить на многообразии дополнительные структуры; например гладкую структуру или комплексную структуру.

Атлас состоит из отдельных карт, которые описывают отдельные области многообразия. Если под многообразием понимать поверхность Земли, то слова карта и атлас приобретают свои обычные значения.

Определения

Пусть $K$ — числовое поле (например $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$), $X$ — топологическое пространство.

• Карта — это пара $(U,f)$, где

$U$ — открытое множество в $X$

$f$ — гомеоморфизм из $U$ в открытое множество в $K^n$

• Если области определения двух карт $(U_1,f_1)$ и $(U_2,f_2)$ пересекаются ($U_1 \cap U_2 \neq \emptyset$), то между множествами $f_1^{-1}(U_2)$ и $f_2^{-1}(U_1)$ имеются взаимно обратные отображения (гомоморфизмы), называемые функциями сличения или отображением склейки :

  $\begin{matrix} f_{12}= f_1\circ f_2^{-1}|_{f_2(U_1 \cap U_2)} &: \ f_2(U_1 \cap U_2) \to f_1(U_1 \cap U_2) \\ f_{21}= f_2\circ f_1^{-1}|_{f_1(U_1 \cap U_2)} &: \ f_1(U_1 \cap U_2) \to f_2(U_1 \cap U_2) \end{matrix}$

• Атлас — это множество согласованных карт $\{(U_\alpha,f_\alpha)\}$, $\alpha\in\mathcal A$, такое, что $\{U_\alpha\}$ образует покрытие пространства $X$. Здесь $\mathcal A$ — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса $C^k$) или аналитическим, если функции замены координат $f_{\alpha_1\alpha_2}$ для всех карт гладкие (класса $C^k$) или аналитические.

Связанные определения

• Два гладких (аналитических) атласа называются согласованными, если их объединение также является гладким (аналитическим) атласом.