Уравнение Орнштейна

Уравнение Орнштейна — Цернике — интегральное уравнение статистической механики для определения прямой корреляционной функции. Оно описывает, как может быть рассчитана корреляция между двумя молекулами, точнее корреляция плотности между двумя точками. Применение в основном обнаруживается в теории жидкости.

Уравнение названо в честь Леонарда Саломона Орнштейна и Фрица Цернике .

Вывод

Можно получить уравнение Орнштейна-Цернике из следующих эвристических соображений. Удобно ввести полную корреляционную функцию:

$h(r_{12})=g(r_{12})-1 \,$

которая является мерой для «воздействия» молекулы 1 на молекулу 2, расположенную на расстоянии $r_{12}$ от первой, в системе с радиальной функцией распределения $g(r_{12})$. В 1914 году Орнштейн и Цернике предложили разделить это влияние на два вклада: прямой и косвенный. Прямой вклад по определению задается прямой корреляционной функцией, сказывается c $c(r_{12})$. Косвенный вклад связан с влиянием молекулы 1 на третью молекулу 3, которая в свою очередь влияет на молекулу 2, непосредственно. Такой опосредованный эффект решается по плотности и усредняется по всем возможным положениях координаты молекулы 3. Это расписание можно записать так:

$h(r_{12})=c(r_{12}) + \rho \int d \mathbf{r}_{3} c(r_{13})h(r_{23}) \,$

что и будет называться уравнением Орнштейна — Цернике.

Точный вывод уравнения требует графического анализа и функциональных методов статистической физики.

Применение

Чтобы разрешить уравнение Орштейна — Цернике, в него добавляют еще одно приближенное уравнение, связывает $h(r)$ с $c(r)$, полученное из модельных соображений. В результате получим одно интегральное или интегро-диференциалне уравнение, из которого можно найти $h(r)$. Самые распространенные приближения: приближение Перкуса — Евика:

$c(r)=g(r)[e^{-\phi(r)/kT} - 1] e^{-\phi(r)/kT} \,$

Гиперцепное приближение:

$c(r)=g(r) - 1 - \ln{g(r)} - \frac{\phi(r)}{kT},$

В рамках теории Орштейна — Цернике можно, не вдаваясь в детальный вид функции $c(r)$, а предположив лишь, что она является короткодействующей, описать асимптотику поведения $h(r)$ при $r \rightarrow \infty$:

$h(r) \rightarrow \frac {e^{-r/R_c}} {r}$

с некоторым характерным параметром $R_c$ (радиусом корреляции).

Ссылки

• The Ornstein-Zernike equation and integral equations
• Multilevel wavelet solver for the Ornstein-Zernike equation Abstract
• Analytical solution of the Ornstein-Zernike equation for a multicomponent fluid
• The Ornstein-Zernike equation in the canonical ensemble
• Ornstein-Zernike Theory for Finite-Range Ising Models Above T_c