Уравнение Боголюбова

Цепочка уравнений Боголюбова (цепочка ББГКИ, ББГКИ иерархия, цепочка уравнений Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда — Ивона) — система уравнений эволюции системы, состоящей из большого числа тождественных взаимодействующих частиц, заключенных в некотором объеме V. Последовательность уравнений ББГКИ выражает эволюцию s-частичной функции распределения через (s+1)-частичную функцию распределения. Названа в честь Боголюбова, Борна, Грина, Кирквуда (англ. John Gamble Kirkwood) и Ивона (Yvon).

Формулировка

Рассмотрим систему из N частиц с парным взаимодействием, находящуюся во внешнем поле. Пусть $\mathbf{q}_i, \mathbf{p}_i$ — обобщенные координаты и импульсы i-ой частицы, $\Phi^{ext}(\mathbf{q}_i)$ — потенциал взаимодействия с внешнем полем, $\Phi_{ij}(\mathbf{q}_i, \mathbf{q}_j)$ — потенциал (парного) взаимодействия частиц. Функция распределения полной системы $f_N = f_N(\mathbf{q}_1\dots\mathbf{q}_N, \mathbf{p}_1 \dots \mathbf{p}_N, t)$ удовлетворяет уравнению Лиувилля

$\frac{\partial f_N}{\partial t} + \sum_{i=1}^N \dot \mathbf{q}_i \frac{\partial f_N}{\partial \mathbf{q}_i} + \sum_{i=1}^N \left( - \frac{\partial \Phi_i^{ext}}{\partial \mathbf{q}_i} - \sum_{j=1}^N \frac{\partial \Phi_{ij}}{\partial \mathbf{q}_i} \right) \frac{\partial f_N}{\partial \mathbf{p}_i} = 0$

Рассматриваемая цепочка уравнений получается последовательным интегрированием уравнения Лиувилля по части переменных. В результате уравнение для s-частичной функции распределения $f_s = f_s(\mathbf{q}_1\dots\mathbf{q}_s, \mathbf{p}_1 \dots \mathbf{p}_s, t)$ имеет вид:

$\frac{\partial f_s}{\partial t} + \sum_{i=1}^s \dot \mathbf{q}_i \frac{\partial f_s}{\partial \mathbf{q}_i} + \sum_{i=1}^s \left( - \frac{\partial \Phi_i^{ext}}{\partial \mathbf{q}_i} - \sum_{j=1}^s \frac{\partial \Phi_{ij}}{\partial \mathbf{q}_i} \right) \frac{\partial f_s}{\partial \mathbf{p}_i} = \sum_{i=1}^s \left( N -s \right) \frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i} \int \frac{\partial \Phi_{is+1}}{\partial \mathbf{q}_i} f_{s+1} \,d\mathbf{q}_{s+1} d\mathbf{p}_{s+1}$

Применение

Полученная цепочка зацепляющихся уравнений эквивалентна исходному уравнению Лиувилля и тем самым не описывает необратимость. К тому же, сложность её решения совпадает со сложностью решения уравнения Лиувилля. Однако при её обрыве и некоторых дополнительных предположениях симметричность по времени исчезает, как например при получении из цепочки ББГКИ классических^[1] и квантовых^[2] кинетических уравнений, и в частности, уравнения Больцмана. Подобные упрощения делают ББГКИ иерархию отправной точкой для многих кинетических теорий.

Примечания

1. ↑ Боголюбов Н. Н. Кинетические уравнения // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1946. — Т. 16 (8). — С. 691—702.
2. ↑ Боголюбов Н. Н., Гуров К. П. Кинетические уравнения в квантовой механике // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1947. — Т. 17 (7). — С. 614—628.

См. также

• Уравнение Больцмана
• Уравнение Власова
• Уравнение Фоккера — Планка

Литература

• Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.: Изд-во Гостехиздат, 1946. — 120 с.
• Боголюбов Н. Н. Избранные труды по статистической физике. — М.: Изд-во МГУ, 1979.
• Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов: в 12-ти тт. — М.: Наука, 2006. — Т. 5: Неравновесная статистическая механика, 1939—1980. — ISBN 5020341428
• Гуров К. П. Основания кинетической теории (метод Н. Н. Боголюбова). — М.: Наука, 1966. — 352 с.
• Шелест А. В. Метод Боголюбова в динамической теории кинетических уравнений. — М.: Наука, 1990. — 159 с. — ISBN 5020140309