Уравнение Кортевега

Уравне́ние Кортеве́га — де Фри́за (уравнение КдФ, также встречается написание де Вриза и де Фриса, англ. Korteweg–de Vries equation) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году^[1], но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и Густавом де Фризом в 1895 году^[2].

Уравнение имеет вид:

$\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = 0$

Решения

Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе, данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида:

$u(x,t) = \frac{2\kappa^2}{\cosh^2\left[\kappa(x-4\kappa^2t-x_0)\right]}$

где $\kappa$ — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость, $x_0$ — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси x. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния.

Периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза имеют вид кноидальных волн, описываемых эллиптическими интегралами:

$x-ct-x_0 = \int \left(2E + cu^2 - 2u^3\right)^{-\frac{1}{2}}du$

где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период.

Также уравнение Кортевега — де Фриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве.

Интегралы

Уравнение Кортевега — де Фриза имеет бесконечное множество интегралов движения вида

$I_n = \int P_n\left(u, \frac{\partial u}{\partial x}, ...\right)dx$

где $P_n\left(u, \frac{\partial u}{\partial x}\right)$ — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, в частности:

$P_0 = u \,$

$P_1 = u^2 \,$

$P_2 = u^3 - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2$

$P_3 = \frac{1}{2}\left(5u^2 + 5u\frac{\partial u}{\partial x} + \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)^2\right)$

Можно показать, что уравнение КдФ является интегрируемой гамильтоновой системой.

Обобщения

При наличии диссипации уравнение Кортевега — де Фриза переходит в уравнение Бюргерса — Кортевега — де Фриза, имеющее вид

$\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

где параметр $\nu$ характеризует величину диссипации.

В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — де Фриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид:

$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3}\right) = \pm \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$

Примечания

1. ↑ Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes. — 1877. — С. 360. — 680 с.
2. ↑ D. J. Korteweg, G. de Vries On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves (англ.) // Philosophical Magazine. — 1895. — Т. 39. — С. 422—443.

Литература

• Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления).
• Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. — 1980. — 319 с.
• Кортевега — де Фриса уравнение — статья из Физической энциклопедии
• Дж. Уизем 13.11. Уравнение Кортевега — де Фриза и Буссинеска // Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 443—448. — 622 с.