КОРТЕВЕГА - ДЕ ФРИСА УРАВНЕНИЕ

КОРТЕВЕГА - ДЕ ФРИСА УРАВНЕНИЕ

- нелинейное дифференц. ур-ние

представляющее собой универсальную модель для описания одномерных нелинейных волн в средах с дисперсией без диссипации, в к-рых закон дисперсии для линейных волн описывается двумя членами разложения по степеням волнового числа k: Предложено Д. Кортевегом (D. Korteweg) и Г. де Фри-сом (G. de Vries) в 1895 в связи с задачей о волнах на поверхности жидкости. К.- де Ф. у. описывает маг-нитозвуковые и ионно-звуковые волны в плазме, акустич. волны в кристаллах, поверхностные и внутр. волны в океане.

Для К. - де Ф. у. найдены точные решения разл. вида, одно из осн.- солитон, или уединённая волна,

амплитуда солитона и положение его центра х₀ - произвольные постоянные. Убывающее при нач. возмущение, эволюционируя согласно К.- де Ф. у., распадается на-ряд невзаимодействующих солитонов, распространяющихся влево, и на осциллирующий и затухающий фон, распространяющийся вправо. Поведение решения при вычисляется по нач. данным. При помощи обратной задачи рассеяния метода можно найти для К.- де Ф. у. бесконечные наборы точных решений, простейшим является N -солитонное: , где - определитель матрицы

, M_i(i=l, 2,. . ., N) - произвольные пост., - единичная матрица. При N -солитонное решение распадается на N свободных солитонов с параметрами . В процессе взаимодействия солитоны испытывают упругие столкновения, приводящие к сдвигу их центров. Полный сдвиг каждого солитона равен сумме сдвигов при парных столкновениях.

Простейшим периодич. решением является бегущая кноидальная волна, описываемая эллиптич. косинусом cn (x-ct), с чем и связано её название:

здесь с, Е- параметры волны. При E-0 кноидальная волна переходит в набор периодически расположенных солитонов.

К.- де Ф. у. допускает также автомодельные решения (см. Автомоделъностъ), к-рые выражаются через решения Пенлеве уравнений. Для построения и преобразования решений К.- де Ф. у. можно использовать Беклунда преобразования.

К.- де Ф. у. имеет бесконечный набор интегралов движения .n = 0, 1, 2, ..., где Р _п - полином от ф-ции u и её производных, в частности Р₀=и; Р₁=и²; P₂=u³-u²_x/2; Р₃=(и²_xx+5uu_x+5u²)/2. При помощи функциональной производной К.- де Ф. у. можно записать в виде

откуда следует, что оно является гамилътоновой системой с ф-цией Гамильтона I₂ и скобкой Пуассона

Поскольку =0, можно показать, что К.- де Ф. у.- интегрируемая гамильтонова система, и явно ввести переменные: действие - угол. Гамильтонова структура (1) не является единственной, выбором скобок Пуассона можно сделать ф-цией Гамильтона любой из интегралов I_n.

Рассматривают также "высшие К.- де Ф. у. ":

их свойства аналогичны свойствам обычного К.- де Ф. у. В диссипативных средах К.- де Ф. у. переходит в Бюргерса - Кортевега - де Фриса уравнение

к к-рому (в отличие от К.- де Ф. у. и Бюргерса уравнения )точные методы не применимы. Стационарные решения ур-ния (2) описывают структуру ударных волн в средах с дисперсией, в частности бесстолкновителъных ударных волн в плазме. В двумерном случае К.- де Ф. у. переходит в Кадомцева - Петвиашвили уравнение.

Лит.: Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., М., 1977; Теория солитонов. Метод обратной задачи, М., 1980. В. Е. Захаров.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.