КОРТЕВЕГА - де ФРИСА УРАВНЕНИЕ


КОРТЕВЕГА - де ФРИСА УРАВНЕНИЕ

КдФ-уравнение,- уравнение вида

предложено Д. Кортевегом и Г. де Фрисом [1] для описания распространения волн на мелкой воде. Оно может быть проинтегрировано с помощью метода обратной задачи теории рассеяния, к-рый основан на представлении К.- де Ф. у. в виде

где - одномерный оператор Шрёдингера, а

Для К.- де Ф. у. однозначно разрешима задача Коши в классе быстроубывающих функций с начальным условием: (здесь - пространство Шварца). Пусть

- данные рассеяния для оператора Шрёдингера с потенциалом и(х). Тогда

и решение и( х, t).определяется по данным рассеяния s(t).с помощью нек-рого интегрального уравнения. В случае последнее уравнение явно решается; возникающие таким образом потенциалы наз. безотражательными, а соответствующие решения К.- де Ф. у.- n-солитонными (см. Солитон). К.- де Ф. у. записывается в гамильтоновом виде

здесь фазовым пространством является пространство а скобки Пуассона задаются билинейной формой оператора Отображение представляет собой каноническое преобразование к переменным типа действие - угол. В новых переменных гамильтоновы уравнения явно интегрируются, и их решение дается указанными выше формулами. К,- де Ф. у. обладает бесконечным набором интегралов движения:

Все эти интегралы движения находятся в инволюции, и порождаемые ими гамильтоновы системы (так наз. высшие уравнения Кортевега - де Ф р и с а) вполне интегрируемы.

С помощью интегральных уравнений обратной задачи также находится решение задачи Коши для начального данного типа ступеньки:

При в окрестности фронта решение и( х, t).распадается на невзаимодействующие солитоны - происходит распад ступеньки.

В случае задачи Коши с периодическим начальным условием аналогом безотражательных потенциалов являются потенциалы, для к-рых оператор Шрёдингера имеет конечное число запрещенных зон,- конечнозонные потенциалы. Периодические и почти периодические конечнозонные потенциалы являются стационарными решениями высших К.- де Ф. у.; последние представляют собой вполне интегрируемые конечномерные гамильтоновы системы. Произвольный периодич. потенциал аппроксимируется конечнозонными. Пусть при - края зон; а Г - гиперэллиптнческая кривая

над полем С. Тогда действительнозначные почти периодические потенциалы с указанными краями зон, а также решения задачи Коши выражаются через q-функции на многообразии Якоби J(Г).кривой Г. При определенных соотношениях на края зон полученные решения будут периодическими. Если отказаться от условий то получатся комплекснозначные (возможно с полюсами) решения К.- де Ф. у., к-рые также наз. конечнозонными.

Лит.:[l] Korteweg D., d е V r i e s G., "Phil. Mag.", 1895, v. 39, p. 422-43; [2] "Phys. Rev. Lett.", 1967, v. 19, p. 1095-97; [3] 3 a x a p о в В. Е., Ф а д д е е в Л. Д., "Функциональный анализ и его приложения", 1971, т. 5, в. 4, е. 18-27; [4] М а р ч е н к о В. А., Спектральная теория операторов Штурма - Лиувилля, К., 1972; [5] Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П., "Успехи матем. наук", 1976, т. 31, в. 1, с. 55-136; [6] Кунин И. А., Теория упругих сред с микроструктурой, М., 1975. Л. А. Тахтаджян.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "КОРТЕВЕГА - де ФРИСА УРАВНЕНИЕ" в других словарях:

  • КОРТЕВЕГА - ДЕ ФРИСА УРАВНЕНИЕ — нелинейное дифференц. ур ние представляющее собой универсальную модель для описания одномерных нелинейных волн в средах с дисперсией без диссипации, в к рых закон дисперсии для линейных волн описывается двумя членами разложения по степеням… …   Физическая энциклопедия

  • Уравнение Кортевега — Уравнение Кортевега  де Фриза (уравнение КдФ, также встречается написание де Вриза и де Фриса, англ. Korteweg–de Vries equation)  нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных …   Википедия

  • Уравнение Риккати — (итал. Equazione di Riccati)  обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида Уравнением Риккати называют также многомерный аналог (*), то есть систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимыми переменными… …   Википедия

  • КАДОМЦЕВА - ПЕТВИАШВИЛИ УРАВНЕНИЕ — ур ние описывающее нелинейные волны в двумерных средах со слабой дисперсией. Обладает той же степенью универсальности, что и Кортевега де Фриса уравнение в одномерном случае (отсюда и второе назв. К. П. у. двумерное ур ние Кортевега де Фриса).… …   Физическая энциклопедия

  • НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где есть мультииндекс с целыми неотрицательными где. Аналогично определяется Н. у …   Математическая энциклопедия

  • СИНУС ГОРДОНА УРАВНЕНИЕ — Sinе Gоrdоn уравнение, релятивистски инвариантное уравнение, в пространственно временных переменных имеющее вид (A) Название предложено М. Крускалом по аналогии с линейным Клейна Гордона уравнением (где вместо sin истоит и). В характеристических… …   Математическая энциклопедия

  • НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ — ур ния, не обладающие свойством линейности; применяются в физике как матем. модели нелинейных явлений в разл. сплошных средах. Н. у. м. ф. важная часть матем. аппарата, используемого в фундам. физ. теориях: теории тяготения и квантовой теории… …   Физическая энциклопедия

  • УСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНОВ — раздел теории устойчивости движения, изучающий эволюцию солитонов, подверженных нек рому возмущению в нач. момент времени. В зависимости от тииа возмущения и способа его описания различают неск. видов У. с. На практике обычно ограничиваются… …   Физическая энциклопедия

  • УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ — свойство упругих систем возвращаться к состоянию равновесия после малых отклонений их из этого состояния. Понятие У. у. с. тесно связано с общими понятиями устойчивости движения и равновесия. Устойчивость является необходимым условием для любой… …   Физическая энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ — уравнения, описывающие математические модели физических явлений. М. ф. у. часть предмета математической физики. Многие явления физики и механики (гидро и газодинамики, упругости, электродинамики, оптики, теории переноса, физики плазмы, квантовой… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.