Теорема Реллиха о целых решениях дифференциального уравнения

Теорема Реллиха о целых решениях дифференциального уравнения

Связать^?

Теорема, доказанная в 1940 г. Фр. Реллихом, утверждает следующее:

Пусть в дифференциальном уравнение $\dot{x}=f(x,t)$ правая часть является всюду сходящимся степенным рядом по x,t (целой функцией). Если имеется два решения x = u(t) и x = v(t), которые являются целыми функциями t, то любое другое целое решение x = w(t) имеет вид w(t) = u(t) + (v(t) − u(t))c при надлежащим образом выбранной константе c. Если f(x,t) не является линейной функцией x, то имеется не более чем счетное число констант cn, при которых выражение u(t) + (v(t) − u(t))cn является решением и множество cn не может иметь конечной предельной точки.

Последнее утверждение допускает обращение: всегда существует нелинейное дифференциальное уравнение с целой правой частью, имеющее бесконечную серию целых решений u(t) + (v(t) − u(t))c_n при любых заданных u(t),v(t), не равных друг другу ни при каком значении t, и любом наборе чисел c_n (имеющих предельную точку разве лишь на бесконечности).

Наиболее интересное следствие теоремы Реллиха состоит в том, что общее решение x = x(t,C) нелинейного уравнения $\dot x= f(x,t)$ с целой правой частью не может быть целой функцией t, в то время как всякое линейное дифференциальное уравнение с целыми коэффициентами всегда имеет целое общее решение.

Ссылки

1. Rellich, Fr. Ueber die ganzen Loesungen einer gewoehnlichen Differentialgleichung erster Ordnung (нем.) // Math. Ann. Bd. 117 (1940), p. 587—589.
2. Виттих Г. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям. М: ГИФМЛ, 1950, с. 114.; сканы на EqWorld