Преобразование Бокса

Преобразование Бокса — Мюллера — метод моделирования стандартных нормально распределённых случайных величин. Имеет два варианта. Метод является точным, в отличие, например, от методов основывающихся на центральной предельной теореме.

Метод был опубликован в 1958 году Джорджем Боксом и Мервином Мюллером.

Первый вариант

Пусть $r$ и $\varphi\$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1]. Вычислим $z_0$ и $z_1$ по формулам

$z_0 = \cos (2 \pi \varphi) \sqrt {-2 \ln r},$

$z_1 = \sin (2 \pi \varphi) \sqrt {-2 \ln r}.$

Тогда $z_0$ и $z_1$ будут независимы и распределены нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. При реализации на компьютере обычно быстрее не вычислять обе тригонометрические функции — $\cos (\cdot)$ и $\sin (\cdot)$ — а рассчитать одну из них через другую. Ещё лучше воспользоваться вместо этого вторым вариантом преобразования Бокса — Мюллера.

Второй вариант

Пусть $x$ и $y$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на отрезке [−1, 1]. Вычислим ${s = x^2 + y^2}$. Если окажется, что ${s > 1}$ или ${s = 0}$, то значения $x$ и $y$ следует «выбросить» и сгенерировать заново. Как только выполнится условие ${0 < s \le 1}$, по формулам

$z_0 = x \cdot \sqrt {-2 \ln s \over s}$

и

$z_1 = y \cdot \sqrt {-2 \ln s \over s}$

следует рассчитать $z_0$ и $z_1$, которые, как и в первом случае, будут независимыми величинами, удовлетворяющими стандартному нормальному распределению.

Коэффициент использования базовых случайных величин для первого варианта, очевидно, равен единице. Для второго варианта это отношение площади окружности единичного радиуса к площади квадрата со стороной два, т. е. $\pi / 4 \approx 0{,}785$. Тем не менее, на практике второй вариант обычно оказывается быстрее, за счёт того, что в нём используется только одна трансцендентная функция, $\ln (\cdot)$. Это преимущество для большинства реализаций перевешивает необходимость генерации большего числа равномерно распределённых случайных величин.

Переход к общему нормальному распределению

После получения стандартной нормальной случайной величины $z$, можно легко перейти к величине $\xi \sim N (\mu, \sigma^2)$ распределённой нормально с математическим ожиданием $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$ по формуле

$\xi = \mu + \sigma z.$

Это уже не является частью преобразования Бокса — Мюллера, но позволяет завершить генерацию нормальной случайной величины.