- Сжимающее отображение
-
Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми двумя точками не менее чем в
раз. Согласно теореме Банаха, у сжимающего отображения полного метрического пространства в себя существует неподвижная точка, причём ровно одна. Это утверждение, также называемое «принципом сжимающих отображений», широко используется при доказательстве различных математических утверждений.
Содержание
Определение
Пусть на метрическом пространстве
определён оператор
. Он называется сжимающим на
, если существует такое неотрицательное число
, что для любых двух точек
выполняется неравенство
.
Свойства
Непрерывность
Пусть
— метрическое пространство и
— сжимающий оператор на
. Тогда
— непрерывная функция на
.
Доказательство
Возьмём произвольный элемент
. Надо доказать (по определению непрерывности функции), что для
для
. Для сжимающего оператора достаточно взять
.
Неподвижная точка
По теореме Банаха у сжимающего отображения существует единственная неподвижная точка
.
Применение
Ссылки
- А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
- Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
Категории:- Метрическая геометрия
- Функциональный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.