Компактификация Стоуна

Компактификация Стоуна — Чеха (также стоун-чеховская или чех-стоунова компактификация) — максимальная компактификация вполне регулярного топологического пространства.

Компактификация Стоуна — Чеха пространства $X$ обычно обозначается как $\beta X$.

Конструкция

Обозначим через $A$ множество всех непрерывных функций $\alpha\colon X\to [0,1]$. Можно проверить, что отображение $F:X\to [0,1]^A$ (тихоновский куб), определяемое равенством

$x\mapsto (\alpha(x))_{\alpha\in A}$,

является гомеоморфизмом $X$ на свой образ $F(X)\subset [0,1]^A$. Замыкание $F(X)$ в $[0,1]^A$ и будет искомой компактификацией.

Свойства

• Любая непрерывная функция $f\colon X\to I=[0,1]$ продолжается до непрерывной функции $\tilde f\colon \beta X\to I$.
• Любое непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ в компактное хаусдорфово пространство $Y$ продолжается до непрерывного отображения $\tilde f\colon \beta X\to Y$.

История

Конструкция компактификации Стоуна — Чеха, была впервые рассмотрена Тихоновым.