- Класс Штифеля
-
Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению
. Обычно обозначается через
. Принимает значения в
, кольце когомологий с коэффициентами в
.
Компонента
в
-х когомологиях
обозначается
и называется
-м классом Штифеля — Уитни расслоения
, так что
Классы
являются препятствиями в
к построению
-го линейно независимого сечения
, ограниченного на
-й остов
.
Содержание
Аксиоматическое определение
Здесь и далее,
обозначает сингулярные когомологии пространства
с коэффициентами в группе
.
Класс Штифеля — Уитни определяется как отображение, сопоставляющее расслоению
элемент кольца гомологий
так, что выполняются следующие аксиомы:
- Естественность:
для любого расслоения
и отображения
, где
обозначает соответствующее индуцированное расслоение над
.
в
.
является образующей
(условие нормализации). Здесь
— это тавтологическое расслоение.
(формула произведения Уитни).
Можно показать, что удовлетворяющие этим аксиомам классы действительно существуют и единственны (по крайней мере, для паракомпактного пространства
)[1]
Исходное построение
Классы Штифеля — Уитни
были предложены Э. Штифелем (англ.) и Х. Уитни как приведение по модулю 2 классов, измеряющих препятствия к построению
-го линейно независимого сечения
, ограниченного на
-й остов
. (Здесь
— размерность слоя
расслоения
).
Более точно, если
является CW-комплексом, Уитни определил классы
в
-й группе клеточных когомологий
с нестандартными коэффициентами.
А именно, в качестве коэффициентов берётся
-я гомотопическая группа многообразия Штифеля
наборов из
линейно независимого вектора в слое
. Уитни доказал, что для построенных им классов
тогда и только тогда, когда расслоение
, ограниченное на
-скелет
, имеет
линейно независимое сечение.
Поскольку гомотопическая группа
многообразия Штифеля всегда или бесконечная циклическая, или изоморфна
, существует каноническая редукция классов
к классам
, которые и называются классами Штифеля — Уитни.
В частности, если
, то эти классы просто совпадают.
Связанные определения
- Если мы работаем на многообразии размерности
, то любое произведение классов Штифеля — Уитни общей степени
может быть спарено с
-фундаментальным классом этого многообразия, давая в результате элемент
; такие числа называют числами Штифеля — Уитни векторного расслоения. К примеру, для расслоения на трёхмерном многообразии есть три линейно независимых числа Штифеля — Уитни, соответствующие
,
и
. В общем случае, если многообразие
-мерно, различные числа Штифеля — Уитни соответствуют разбиениям
в сумму целых слагаемых.
- Числа Штифеля — Уитни касательного расслоения к гладкому многообразию называются числами Штифеля — Уитни этого многообразия. Они являются инвариантами кобордизма.
- Естественному отображению приведения по модулю два,
, соответствует гомоморфизм Бокштейна
- Образ класса
под его действием,
, называется
-м целым классом Штифеля — Уитни.
- В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению
-структуры.
- В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению
Свойства
- Если расслоение
имеет
сечений, линейно независимых над каждой точкой, то
.
при
.
- Первый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие
ориентируемо тогда и только тогда, когда
.
- Расслоение допускает спинорную структуру, тогда и только тогда, когда первый и второй классы Штифеля — Уитни оба обращаются в ноль.
- Для ориентируемого расслоения, второй класс Штифеля — Уитни лежит в образе естественного отображения
(или, что то же самое, так называемый третий целый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль) тогда и только тогда, когда расслоение допускает
-структуру.
- Все числа Штифеля — Уитни гладкого компактного многообразия
обращаются в ноль тогда и только тогда, когда это многообразие является границей (без учёта ориентации) гладкого компактного многообразия.
Литература
- Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
- Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
- Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979. — 371 с.
Примечания
- ↑ см. разделы 3.5 и 3.6 книги Хюсмоллера или раздел 8 в Милноре — Сташеве.
Категория:- Алгебраическая топология
Wikimedia Foundation. 2010.