Число Штифеля — Уитни


Число Штифеля — Уитни

Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению E\rightarrow X. Обычно обозначается через w(E). Принимает значения в H^*(X;\;\Z_2), кольце когомологий с коэффициентами в \Z_2=\Z/2\Z.

Компонента w(E) в i-ых когомологиях H^i(X;\;\Z_2) обозначается wi(E) и называется i-ым классом Штифеля — Уитни расслоения E, так что

w(E)=w_0(E)+w_1(E)+w_2(E)+\ldots\,.

Классы wi(E) являются препятствиями в H^i(X;\;\Z_2) к построению (ni + 1)-го линейно независимого сечения E, ограниченного на i-ый остов X.

Содержание

Аксиоматическое определение

Здесь и далее, H^i(X;\;G) обозначает сингулярные когомологии пространства X с коэффициентами в группе G.

Класс Штифеля — Уитни определяется как отображение, сопоставляющее расслоению E элемент кольца гомологий w(E) так, что выполняются следующие аксиомы:

  1. Естественность: w(f * E) = f * w(E) для любого расслоения E\to X и отображения f:X'\to X, где f * E обозначает соответствующее индуцированное расслоение над X'.
  2. w0(E) = 1 в H^0(X;\;\Z/2\Z).
  3. w11) является образующей H^1(\R P^1;\;\Z/2\Z)\cong\Z/2\Z (условие нормализации). Здесь γ1 — это тавтологическое расслоение.
  4. w(E\oplus F)= w(E)\smallsmile w(F) (формула произведения Уитни).

Можно показать, что удовлетворяющие этим аксиомам классы действительно существуют и единственны (по крайней мере, для паракомпактного пространства X)[1]

Исходное построение

Классы Штифеля — Уитни wi(E) были открыты Штифелем и Уитни как приведение по модулю 2 классов, измеряющих препятствия к построению (ni + 1)-го линейно независимого сечения E, ограниченного на i-ый остов X. (Здесь n — размерность слоя F расслоения E).

Более точно, если X является CW-комплексом, Уитни определил классы Wi(E) в i-й группе клеточных когомологий X с нестандартными коэффициентами.

А именно, в качестве коэффициентов берётся (i − 1)гомотопическая группа многообразия Штифеля Vni + 1(F) наборов из ni + 1 линейно независимого вектора в слое F. Уитни доказал, что для построенных им классов Wi(E) = 0 тогда и только тогда, когда расслоение E, ограниченное на i-скелет X, имеет ni + 1 линейно независимое сечение.

Поскольку гомотопическая группа πi − 1Vni + 1(F) многообразия Штифеля всегда или бесконечная циклическая, или изоморфна \Z_2, существует каноническая редукция классов Wi(E) к классам w_i(E)\in H^i(X;\;\Z_2), которые и называются классами Штифеля — Уитни.

В частности, если \pi_{i-1}V_{n-i+1}(F)=\Z_2, то эти классы просто совпадают.

Связанные определения

  • Если мы работаем на многообразии размерности n, то любое произведение классов Штифеля — Уитни общей степени n может быть спарено с \Z_2-фундаментальным классом этого многообразия, давая в результате элемент \Z_2; такие числа называют числами Штифеля — Уитни векторного расслоения. К примеру, для расслоения на трёхмерном многообразии есть три линейно независимых числа Штифеля — Уитни, соответствующие w_1^3, w1w2 и w3. В общем случае, если многообразие n-мерно, различные числа Штифеля — Уитни соответствуют разбиениям n в сумму целых слагаемых.
    • Числа Штифеля — Уитни касательного расслоения к гладкому многообразию называются числами Штифеля — Уитни этого многообразия. Они являются инвариантами кобордизма.
  • Естественному отображению приведения по модулю два, \Z\to\Z_2, соответствует гомоморфизм Бокштейна
    \beta\colon H^i(X;\;\Z_2)\to H^{i+1}(X;\;\Z).
Образ класса wi под его действием, \beta w_i\in H^{i+1}(X;\;\Z), называется (i + 1)-ым целым классом Штифеля — Уитни.
  • В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению SpinC-структуры.

Свойства

  • Если расслоение Ek имеет s_1,\;\ldots,\;s_\ell сечений, линейно независимых над каждой точкой, то w_{k-\ell+1}=\ldots=w_k=0.
  • wi(E) = 0 при i > rank(E).
  • Первый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие M ориентируемо тогда и только тогда, когда w1(TM) = 0.
  • Расслоение допускает спинорную структуру, тогда и только тогда, когда первый и второй классы Штифеля — Уитни оба обращаются в ноль.
  • Для ориентируемого расслоения, второй класс Штифеля — Уитни лежит в образе естественного отображения H^2(M,\;\Z)\to H^2(M,\;\Z_2) (или, что то же самое, так называемый третий целый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль) тогда и только тогда, когда расслоение допускает SpinC-структуру.
  • Все числа Штифеля — Уитни гладкого компактного многообразия X обращаются в ноль тогда и только тогда, когда это многообразие является границей (без учёта ориентации) гладкого компактного многообразия.

Литература

  • Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
  • Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
  • Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979. — 371 с.

Примечания

  1. см. разделы 3.5 и 3.6 книги Хюсмоллера или раздел 8 в Милноре — Сташеве.



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Число Штифеля — Уитни" в других словарях:

  • Число Штифеля—Уитни — Класс Штифеля  Уитни  определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению . Обычно обозначается через w(E). Принимает значения в , кольце когомологий с коэффициентами в . Компонента w(E) в i ых когомологиях… …   Википедия

  • Число Штифеля — Класс Штифеля  Уитни  определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению . Обычно обозначается через w(E). Принимает значения в , кольце когомологий с коэффициентами в . Компонента w(E) в i ых когомологиях… …   Википедия

  • Число Понтрягина — ― характеристическое число, определенное для вещественных замкнутых многообразий и принимающее рациональные значения. Определение Пусть M есть 4n мерное гладкое замкнутое многообразие и ― разбиение числа , то есть набор натуральных чисел, таких… …   Википедия

  • ШТИФEЛЯ ЧИСЛО — характеристическое число замкнутого многообразия, принимающее значения вычетов по модулю 2. Пусть произвольный стабильный характеристич. класс, М замкнутое многообразие. Вычет по модулю 2, определяемый равенством наз. числом Штифеля (или Штифеля… …   Математическая энциклопедия

  • ХОПФА ИНВАРИАНТ — инвариант гомотопич. класса отображений топологич. пространств. Впервые был определенX. Хопфом ([1], [2]) для отображений сфер Пусть непрерывное отображение. Переходя, если нужно, к гомотопному отображению, можно считать это отображение… …   Математическая энциклопедия

  • РАССЛОЕНИЕ — (расслоённое пространство) одна из фундам. структур, изучаемых в топологии. В совр. физике, гл. обр. в теории элементарных частиц, концепция Р. и ассоциированных с ним матем. структур (связность и т. п.) является наиб. адекватным языком для… …   Физическая энциклопедия

  • КОС ТЕОРИЯ — раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы, составленные из их классов эквивалентности, и различные обобщения этих групп [1]. Коса из пнитей объект, состоящий из двух параллельных плоскостей Р 0 и Р 1 в трехмерном пространстве R3,… …   Математическая энциклопедия

  • Фундаментальный класс — Фундаментальным классом называется гомологический класс ориентированного многообразия, который соответствует «целому многообразию». Интуитивно фундаментальный класс можно себе представить как сумму симплексов максимальной размерности подходящей… …   Википедия

  • СПИНОРНАЯ СТРУКТУРА — на т мерном многообразии М, расслоение спин реперов, главное расслоение над Мсо структурной группой Spin (n)(см. Спинорная группа). накрывающее нек рое главное расслоение кореперов со структурной группой SO (n). Последнее условие означает, что… …   Математическая энциклопедия

  • Знакомьтесь — Кевин Джонсон англ. Meet Kevin Johnson Серия телесериала «Остаться в живых» …   Википедия


We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.