- Процесс Грама ― Шмидта
-
Процесс Грама (англ.) ― Шмидта — это один из алгоритмов, в которых на основе счётного множества линейно независимых векторов строится множество ортогональных векторов или ортонормированных векторов , причём так, что каждый вектор или может быть выражен линейной комбинацией векторов .
Содержание
Классический процесс Грама — Шмидта
Алгоритм
Пусть имеются линейно независимые векторы .
Определим оператор проекции следующим образом:
где — скалярное произведение векторов и . Этот оператор проецирует вектор ортогонально на вектор .
Классический процесс Грама — Шмидта выполняется следующим образом:
На основе каждого вектора может быть получен нормированный вектор: (у нормированного вектора направление будет таким же, как у исходного, а длина — единичной).
Результаты процесса Грама — Шмидта:
— система ортогональных векторов либо
— система ортонормированных векторов.
Вычисление носит название ортогонализации Грама — Шмидта, а — ортонормализации Грама — Шмидта.
Доказательство
Докажем ортогональность векторов .
Для этого вычислим скалярное произведение , подставив в него формулу (2). Мы получим ноль. Равенство нулю скалярного произведения векторов означает, что эти вектора ортогональны. Затем вычислим скалярное произведение , используя результат для и формулу (3). Мы снова получим ноль, то есть вектора и ортогональны. Общее доказательство выполняется методом математической индукции.
Геометрическая интерпретация — вариант 1
Рассмотрим формулу (2) — второй шаг алгоритма. Её геометрическое представление изображено на рис. 1:
1 — получение проекции вектора на ;
2 — вычисление , то есть перпендикуляра, которым выполняется проецирование конца на . Этот перпендикуляр — вычисляемый в формуле (2) вектор ;
3 — перемещение полученного на шаге 2 вектора в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (2).
На рисунке видно, что вектор ортогонален вектору , так как является перпендикуляром, по которому проецируется на .
Рассмотрим формулу (3) — третий шаг алгоритма — в следующем варианте:
Её геометрическое представление изображено на рис. 2:
1 — получение проекции вектора на ;
2 — получение проекции вектора на ;
3 — вычисление суммы , то есть проекции вектора на плоскость, образуемую векторами и . Эта плоскость закрашена на рисунке серым цветом;
4 — вычисление , то есть перпендикуляра, которым выполняется проецирование конца на плоскость, образуемую векторами и . Этот перпендикуляр — вычисляемый в формуле (6) вектор ;
5 — перемещение полученного в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (6).
На рисунке видно, что вектор ортогонален векторам и , так как является перпендикуляром, по которому проецируется на плоскость, образуемую векторами и .
Таким образом, в процессе Грама — Шмидта для вычисления выполняется проецирование ортогонально на гиперплоскость?, формируемую векторами . Вектор затем вычисляется как разность между и его проекцией. То есть — это перпендикуляр? от конца к гиперплоскости?, формируемой векторами . Поэтому ортогонален векторам, образующим эту гиперплоскость?.
Геометрическая интерпретация — вариант 2
Рассмотрим проекции некоторого вектора на вектора и как компоненты вектора в направлениях и (рис. 3):
Если удалить из компоненту в направлении , то станет ортогонален (рис. 4):
Если из удалить компоненты в направлениях и , то станет ортогонален и , и (рис. 5):
В формуле (2) из вектора удаляется компонента в направлении вектора . Получаемый вектор не содержит компоненту в направлении и поэтому ортогонален вектору .
В формуле (3) из вектора удаляются компоненты в направлениях и (формуле 3 соответствует переход от рис. 3 к рис. 5; рис. 4 не соответствует формуле 3). Получаемый вектор ортогонален векторам и .
В формуле (4) из вектора удаляются компоненты в направлениях . Получаемый вектор ортогонален векторам .
Таким образом, по формулам (1) — (4) на основе векторов получается набор ортогональных векторов .
Численная неустойчивость
При вычислении на ЭВМ по формулам (1) — (5) вектора часто не точно ортогональны из-за ошибок округления. Из-за потери ортогональности в процессе вычислений классический процесс Грама — Шмидта называют численно неустойчивым.
Модифицированный процесс Грама — Шмидта
Процесс Грама — Шмидта может быть сделан более вычислительно устойчивым путём небольшой модификации. Вместо вычисления как
этот вектор вычисляется следующим образом:
Геометрическая интерпретация
Рассмотрим получение по формулам (8) — (11):
Геометрически это показано на рис 6:
На рис. 6 вектор обозначен как .
1 — получение проекции вектора на для формулы (12), то есть компоненты в направлении ;
2 — вычитание по формуле (12), то есть удаление из компоненты в направлении . Получаемый вектор ортогонален , так как не имеет компоненты в направлении ;
3 — перенос вектора в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (12).
4 — получение проекции вектора на для формулы (13), то есть компоненты в направлении ;
5 — вычитание по формуле (13), то есть удаление из компоненты в направлении . Получаемый вектор ортогонален , так как не имеет компоненты в направлении . При вычитании из компоненты в направлении в результирующем векторе не появляется компонента в направлении ;
6 — перенос вектора в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (13).
Таким образом, получаемый на рис. 6 вектор не имеет компонент в направлениях и и поэтому ортогонален и .
Рассмотрим непосредственно формулы (8) — (11).В формуле (8) из вектора удаляется компонента в направлении вектора . Получаемый вектор не содержит компоненту в направлении и поэтому ортогонален вектору .
Далее в формуле (9) из результата удаляется его компонента в направлении вектора . Получаемый вектор не содержит компоненту в направлении и поэтому ортогонален вектору .
Путём дальнейшего последовательного удаления из результата его компонент получается вектор , не содержащий компонент в направлениях и потому ортогональный векторам .
Эквивалентность классического и модифицированного процессов
Классический и модифицированный процессы можно сопоставить следующим образом:
Формула (14) показывает вычисление в классическом процессе, а формула (15) — в модифицированном.
Разница между (14) и (15) заключается в том, от каких векторов вычисляются компоненты: от в классическом процессе или от результата предыдущего вычитания, то есть от в модифицированном процессе. представляет собой , из которого удалены компоненты в направлениях . Компонента вектора в направлении при этом удалении не затрагивается и поэтому она в такая же, как в . Другими словами,
На рис. 6 равенство (16) имеет форму «».
Равенство (16) отображено знаками "||" между формулами (14) и (15). Это позволяет видеть, что формулы (14) и (15) эквивалентны. Таким образом, классический и модифицированный процессы эквивалентны, но только при идеально точных вычислениях. Реальные вычисления имеют погрешность из-за ошибок округления.
Особые случаи
Процесс Грама — Шмидта может применяться также к бесконечной последовательности линейно независимых векторов.
Кроме того, процесс Грама — Шмидта может применяться к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт (нулевой вектор) на шаге , если является линейной комбинацией векторов . Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм должен делать проверку на нулевые вектора и отбрасывать их. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (т.е. количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).
Свойства
- Произведение длин равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах системы как на рёбрах.
Единственность результата
Матрица перехода от к и множество векторов определяются однозначно, если принять, что диагональные элементы матрицы перехода положительны.
Дополнительные толкования
Процесс Грама ― Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами ― QR-разложение, что есть частный случай разложения Ивасавы.
Реализации
Реализация для пакета Mathematica
Данный скрипт, предназначенный для пакета Mathematica, проводит процесс ортогонализации Грама ― Шмидта над векторами, заданными в фигурных скобках предпоследней строки. Количество векторов и их координат могут быть произвольными. В данном случае для примера взяты векторы , , .
Projection[v1_, v2_] := (v1.v2*v2)/v2.v2 MultipleProjection[v1_, vecs_] := Plus @@ (Projection[v1, #1] &) /@ vecs GramSchmidt[mat_] := Fold[Join[#1, {#2 - MultipleProjection[#2, #1]}] &, {}, mat] GramSchmidt[{{-2, 1, 0}, {-2, 0, 1}, {-0.5, -1, 1}}]
Литература
- Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука.
Категория:- Линейная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.