ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ

процесс ортогонализации,- алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V. Наиболее известным является процесс ортогонализации Шмидта (или Грама - Шмидта), при к-ром по линейно независимой системе a_l,...,a_k строится ортогональная система b_l,...,b_k такая, что каждый вектор b_i (i=1,...,k).линейно выражается через a_l,...,a_i то есть b_i=, где C=||g_ij|| - верхняя треугольная матрица. При этом можно добиться того, чтобы система {b_i} была ортонормированной и чтобы диагональные элементы g_ij матрицы Сбыли положительны; этими условиями система {b_i} и матрица Сопределяются однозначно. .

Процесс Грама-Шмидта состоит в следующем. Полагают b₁=а ₁;если уже построены векторы b_l,...,b_i то

где

j=1,...,i, найдены из условия ортогональности вектора b_i+1 к b_l,...,b_i. Геометрии, смысл описанного процесса состоит в том, что на каждом шагу вектор b_i+1 является перпендикуляром, восстановленным к линейной оболочке векторов a_l,...,a_i до конца вектора b_i+1. Произведение длин |b_i|...|b_k| равно объему параллелепипеда, построенного на векторах системы { а _i}, как на ребрах. Нормируя полученные векторы b_i, получают искомую ортонормированную систему. Явное выражение векторов b_i через a_l,...,a_k дает формула

(определитель в правой части следует формально разложить по последнему столбцу). Соответствующая ор-тонормированная система имеет вид

где Г _i - Грама определитель системы a_l,...,a_j.

Этот процесс применим также и к счетной системе векторов.

Процесс Грама-Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхней треугольной матрицы с положительными диагональными элементами, что есть частный случай Ивасавы разложения.

Лит.:[1] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 2 изд., М., 1966; Е2] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975. И. В. Проскуряков.