Интерполирование с кратными узлами

Интерполирование с кратными узлами

Интерполирование с кратными узлами — задача о построении многочлена минимальной степени, принимающего в некоторых точках (узлах интерполяции) заданные значения, а также заданные значения производных до некоторого порядка.

Показывается, что существует единственный многочлен \ P_n(x) степени \ n, удовлетворяющий условиям:

f^{(k)}(x_i)=f_{i,k}, i=1,\cdots,m; k=0,\cdots,n_i-1, где n_1+n_2+ \cdots +n_m=n+1.

Этот многочлен называют многочленом с кратными узлами, или многочленом Эрмита. В общем виде:

P_n(x)=\sum_{i=1}^m\sum_{k=0}^{n_i-1}l_{i,k}(x)f_{i,k}, \ m — количество узлов и \ n_i — кратность узла \ x_i.

Шарль Эрмит показал, что

l_{i,k}(x)=\left[\frac{1}{k!}\frac{\prod_{j=1}^m(x-x_j)^{n_j}}{(x-x_i)^{n_i}}\right]\sum_{s=0}^{n_i-k-1}c_s^i(x-x_i)^{k+s}, где \ c_s^i — коэффициенты ряда Тейлора для функции \frac{(x-x_i)^{n_i}}{\prod_{j=1}^m(x-x_j)^{n_j}}=\sum_{s=0}^{\infty}c_s^i(x-x_i)^s.

Содержание

Доказательство

Частные случаи

  • Если все \ n_i равны единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа.
  • Если количество узлов интерполяции равно единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с многочленом Тейлора.
  • Если количество узлов интерполяции равно двум и в каждом задано значение функции и значение её производной — имеем задачу о построении кубического сплайна.

Оценка остатка интерполяции

См. также

Литература

  • Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Интерполирование с кратными узлами" в других словарях:

  • СПЛАЙН-ИНТЕРПОЛЯЦИЯ — интерполирование посредством сплайнов, т. е. построение интерполяционного сплайна (и. с.), принимающего в заданных точках {xi}заданные значения {f(xi)}, i=0, 1, . . ., n. Обычно и. с. удовлетворяют дополнительным условиям в концевых точках. Так,… …   Математическая энциклопедия

  • ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ — замена по определенному правилу функции f(t).близкой к ней в том или ином смысле функцией j(t). из заранее фиксированного множества (приближающего множества). Предполагается, что функция f определена на том множестве Qm мерного евклидова… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»