Интерполирование с кратными узлами

Интерполирование с кратными узлами — задача о построении многочлена минимальной степени, принимающего в некоторых точках (узлах интерполяции) заданные значения, а также заданные значения производных до некоторого порядка.

Показывается, что существует единственный многочлен $\ P_n(x)$ степени $\ n$, удовлетворяющий условиям:

$f^{(k)}(x_i)=f_{i,k}, i=1,\cdots,m; k=0,\cdots,n_i-1$, где $n_1+n_2+ \cdots +n_m=n+1$.

Этот многочлен называют многочленом с кратными узлами, или многочленом Эрмита. В общем виде:

$P_n(x)=\sum_{i=1}^m\sum_{k=0}^{n_i-1}l_{i,k}(x)f_{i,k}$, $\ m$ — количество узлов и $\ n_i$ — кратность узла $\ x_i$.

Шарль Эрмит показал, что

$l_{i,k}(x)=\left[\frac{1}{k!}\frac{\prod_{j=1}^m(x-x_j)^{n_j}}{(x-x_i)^{n_i}}\right]\sum_{s=0}^{n_i-k-1}c_s^i(x-x_i)^{k+s}$, где $\ c_s^i$ — коэффициенты ряда Тейлора для функции $\frac{(x-x_i)^{n_i}}{\prod_{j=1}^m(x-x_j)^{n_j}}=\sum_{s=0}^{\infty}c_s^i(x-x_i)^s$.

Доказательство

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Частные случаи

• Если все $\ n_i$ равны единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа.
• Если количество узлов интерполяции равно единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с многочленом Тейлора.
• Если количество узлов интерполяции равно двум и в каждом задано значение функции и значение её производной — имеем задачу о построении кубического сплайна.

Оценка остатка интерполяции

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

См. также

• Интерполяционный многочлен Лагранжа
• Интерполяционный многочлен Ньютона
• Интерполяционный тригонометрический многочлен
• Интерполяция сплайнами

Литература

• Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.