Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции $~z$  в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

$~d^nz= d(d^{n-1}z)$  .

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной $~z = f(x)$  второй и третий дифференциалы выглядят так:

$~d^2z = d(dz) = d(z'dx) = dz'dx = (z''dx)dx = z''dx^2$

$~d^3z = d(d^2z) = d(z''dx^2) = dz''dx^2 = (z'''dx)dx^2 = z'''dx^3$

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции $~z = f(x)$ :

$~d^nz = z^{(n)}dx^n$

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что $~dx$ есть произвольное и не зависящее от $~x$ , которое при дифференцировании по $~x$  следует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция $~z = f(x,y)$  имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: $~d^2z= d(dz)$.

$d^2z = d(\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy) = (\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy)'_xdx+ (\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy)'_ydy =$

$= (\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx + \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}dy)dx + (\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}dx + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy)dy$

$d^2z = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx^2 + 2\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}dxdy + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy^2$

$d^2z = (\frac{\partial}{\partial x}dx+\frac{\partial}{\partial y}dy)^2z$

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции $~z = f(x_1,...,x_n)$ выглядит следующим образом:

$d^nz = (\frac{\partial}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial}{\partial x_2}dx_2+ ... +\frac{\partial}{\partial x_n}dx_n)^nz$

где $~z = f(x_1,x_2,...x_n)$, а  $~dx_1,...,dx_n$ произвольные приращения независимых переменных $~x_1,...,x_n$.
Приращения $~dx_1,...,dx_n$  рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При  $n\geqslant 2$ , $~n$-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение $~d^nf$ зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная $~x$ как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, $x = \varphi(t)$.

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При n = 2 и  $~y = f(x) = x^3$ :

• если  $~x$ — независимая переменная, то  $~d^2y = d^2f(x) = (x^3)''(dx)^2 = 6x(dx)^2$
• если  $~x = \varphi(t) = t^2$  и  $~dx = d\varphi(t) = \varphi'(t)dt = 2tdt$
  1. $~6x(dx)^2 = 6t^2(2tdt)^2 = \color{BrickRed}{24t^4(dt)^2}$
  2. при этом,  $~y = x^3 = (t^2)^3 = t^6$  и  $~d^2y = (t^6)''(dt)^2 = \color{BrickRed}{30t^4(dt)^2}$

С учётом зависимости $~x = t^2$, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Дополнения

• С помощью дифференциалов, функция $~F$  при условии существования её (n + 1) первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:

• для функции с одной переменной:

$~\mathcal{4}F(x_0) = dF(x_0)+\frac{d^2F(x_0)}{2!}+...+\frac{d^nF(x_0)}{n!}+\frac{d^{n+1}F(x_0+\theta\mathcal{4}x)}{n+1!}$  ,  $~(0<\theta<1)$;

• для функции с несколькими переменными:

$~\mathcal{4}F(x_0,y_0) = dF(x_0,y_0)+\frac{d^2F(x_0,y_0)}{2!}+...+\frac{d^nF(x_0,y_0)}{n!}+\frac{d^{n+1}F(x_0+\theta\mathcal{4}x,y_0+\theta\mathcal{4}y)}{n+1!}$  ,  $~(0<\theta<1)$

• Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции $~f(x_1,...,x_n)$  явлется положительно определённым (отрицательно определенным), то точка $~(x_1,...,x_n)$  является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции $~f(x_1,...,x_n)$  является неопределённым, то в точке $~(x_1,...,x_n)$  нет экстремума.

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики.