- НЕЛИНЕЙНАЯ СВЯЗНОСТЬ
- дифференциально-геометрическая структура, задаваемая на категории гладких расслоенных пространств, ассоциированных с нек-рым главным G-расслоением, к-рая фиксирует определенный для данной Н. с. изоморфизм слоев (параллельный перенос) вдоль каждой кусочно гладкой кривой базы расслоения данной категории, согласованный с изоморфизмом соответствующих слоев главного G-расслоения. При этом предполагается, что указанная структура не тождественна ставшему классическим понятию линейной связности, к-рое определяется тем пли иным G- инвариантным горизонтальным распределением. Иной смысл [5] имеет термин Н. с, состоящий в том, что определяемый горизонтальным распределением перенос векторных слоев расслоения теряет линейный характер, т. е. не является изоморфизмом этих слоев.
Необходимость введения и исследование Н. с. диктовалась потребностями изучения различных дифферен-циально-геометрич. структур высших порядков (таких, как напр. Кавагути пространства). Основы общей теории Н. с. достаточно развиты, исследованы и получили приложения нек-рые специальные типы Н. с. (см. [2] - [4]).
Пусть
гладкое главное G-расслоение со структурной группой Ли Gи канонич. проекцией p на базу В, а К(X)- категория всех ассоциированных с Xрасслоений. Изоморфизмом слоя
на слой
наз. отображение
, коммутирующее с действием группы Gна X. Люоой изоморфизм iможет быть задан формулой
и, следовательно, является диффеоморфизмом слоев Gx и Gy. Множество Т(Х)всех изоморфизмов между всевозможными слоями главного расслоения Xявляется гладким расслоением со структурой группоида над базой .
(группоид - категория с обратимыми элементами). Изоморфизм
порождает соответствующий изоморфизм слоев над точками
любого ассоциированного расслоения
и тем самым группоид
обслуживает всю категорию
Пусть
- категория всех кусочно гладких кривых базового многообразия В. Связностью в категории К(Х)гладких расслоений в самом общем смысле наз. любой функтор
тождественный по базе
. Пусть
- канонпч. проекция группоида Т(Х)на свою базу
, определяемая тем условием, что если
Тем самым многообразие Вотождествляется с подмногообразием
всех левых и правых единиц группоида
. Пусть
- векторное расслоение над
, образованное слоями вида
- расслоенное над Впространство р-скоростей многообразия В(элементами
являются регулярные р-струи всевозможных гладких отображений
с источником
). Расслоения
и
обладают ка-нонич. проекциями на касательное расслоение T(B)
Связность
наз. нелинейной связностью порядка р=1, 2, 3, . . ., если р- наименьшее число, для к-рого функтор
определяет гладкое отображение
такое, что
. Функтор
в свою очередь определяется соответствующим ему отображением
В случае, когда р = 1 и отображение
послойно линейное, связность вырождается в линейную связность на категории К(Х). В изучении евойств Н. с. и в их классификации фундаментальную роль играют структурные уравнения отображений
, записанные в форме уравнений Пфаффа, связывающих дифференциалы относительных координат геометрич. объектов, описывающих расслоения
и
. В терминах коэффициентов структурных уравнений с помощью операций их дифференциального продолжения и охватов установлено [2], что Н. с.
в
порождает линейную связность специальной структуры в главном G-расслоении
над базой
, и этой линейной связностью полностью характеризуется. Найдены формы указанной линейной связности и их структурные уравнения. Доказан нелинейный аналог теоремы о группе голономии, в определении к-рой участвуют не только кривизна, но и линейная оболочка распределения горизонтальных конусов, заменяющих в нелинейном случае подпространства горизонтального распределения линейной связности.
Лит.:[1] Вагнер В. В., "Тр. семинара по векторному и тензорному анализу", 1950, в. 8, с. 11-72; [2] Евтушик Л. Е., "Изв. ВУЗов. Математика". 1969, №2, с. 32-44; [3] его же, "Сиб. матем. ж.", 1973, т. 14, .№ 3, с. 536-48; [4] Евтушик Л. Е., Третьяков В. В., "Тр. геометр, семинара", 1974, т. 6, с. 243-55; [5] Кawagусhi A., "Tensor. New ser.", 1952, v. 2. p. 123-42.
Л. Е. Евтушик.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.