Феномен Рунге

Функция Рунге (плотность вероятности распределения Коши) и интерполяционный полином 5-й степени

Функция Рунге и интерполяционный полином 10-й степени

Феномен (явление) Рунге — в численном анализе эффект нежелательных осцилляций, возникающий при интерполяции полиномами высоких степеней. Был открыт Карлом Рунге при изучении ошибок полиномиальной интерполяции для приближения некоторых функций^[1].

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{1+25x^2}.$ Если интерполировать её по равноотстоящим узлам $x_i$ между −1 и 1 $x_i = -1 + (i-1)\frac{2}{n},\quad i \in \left\{ 1, 2, \dots, n+1 \right\}$ полиномом $P_n(x)$ со степенью меньше или равной $n$, то полученный интерполянт будет осциллировать ближе к концам интервала. С возрастанием степени полинома погрешность интерполяции стремится к бесконечности: $\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \max_{-1 \leq x \leq 1} | f(x) - P_n(x)| \right) = \infty.$

Тем не менее, согласно аппроксимационной теореме Вейерштрасса, для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность полиномов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке. Пример лишь показывает трудность интерполяции по равноотстоящим узлам полиномом высокой степени.

Погрешность интерполяции функции полиномом степени $N$ ограничена $N$-ой производной функции: у такого полинома может быть $N-1$ точка экстремума.

Примечания

1. ↑ Рунге, Карл Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten (нем.) // Zeitschrift für Mathematik und Physik. — 1901. — Т. 46. — С. 224—243.