- Поверхностные интегралы
-
Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.
Содержание
Поверхностный интеграл первого рода
Определение
Пусть — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на задана функция . Рассмотрим разбиение этой поверхности на части кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку . Вычислив значение функции в этой точке и, приняв за — площадь поверхности рассмотрим сумму .
Тогда число называется пределом сумм , если:
Предел сумм при называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначается следующим образом:
Параметрическая форма
Пусть на поверхности можно ввести единую параметризацию посредством функций
заданных в ограниченной замкнутой области плоскости и принадлежащих классу в этой области. Если функция непрерывна на поверхности , то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности существует и может быть вычислен по формуле:
, где:
Свойства
Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности.
- Линейность: ;
- Аддитивность: ;
- Монотонность:
- если , то
- для если , то
- Теорема о среднем для непрерывной функции и замкнутой ограниченной поверхности :
.
Поверхностный интеграл второго рода
Определение
Рассмотрим двустороннюю поверхность , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.
Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением причем точка изменяется в области на плоскости , ограниченный кусочно-гладким контуром.
Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части и выбрав на каждой такой части точку вычисляем значение функции в данной точке и умножим его на площадь проекции на плоскость элемента , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:
.
Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от
,
распространенным на выбранную сторону поверхности , и обозначают символом
(здесь ) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость
Если вместо плоскости спроектировать элементы поверхности на плоскость или , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:
или .
В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:
где суть функции от , определенные в точках поверхности .
Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода
, где — единичный вектор нормали поверхности , — орт.
Свойства
- Линейность: ;
- Аддитивность: ;
- При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.
См. также
Литература
- Фихтенгольц, Г. М. Глава 17. Поверхностные интегралы // [Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 3.
- Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 5. Поверхностные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).
Ссылки
Категории:- Математический анализ
- Интегралы
- Дифференциальное исчисление многих переменных
Wikimedia Foundation. 2010.