ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ

интеграл по поверхности. Пусть поверхность 5, расположенная в трехмерном евклидовом пространстве R³ с декартовыми координатами х, у, z и имеющая, быть может, самопересечения, задана векторным представлением

где (1)

- непрерывно дифференцируемая вектор-функция, определенная на замыкании двумерной измеримой по Жордану области G, расположенной на плоскости с декартовыми координатами и, v. Пусть

- коэффициенты первой квадратичной формы поверхности S. Если через F(x, у, z).обозначить функцию, определенную на поверхности S, т. е. функцию F(x( и,v), y(u,v), z(u,v)), то поверхностный интеграл первого рода (или интеграл по площади поверхности) определяют равенством

(2)

Это определение не зависит от выбора представления поверхности. П. и. 1-го рода является пределом соответствующих интегральных сумм, к-рые могут быть описаны в терминах, связанных с поверхностью. Напр., если функция F(x(u, v), у( и, v), z(u, v)).интегрируема по Риману, - разбиение поверхности Sна части S_i, являющиеся образами при отображении (1) множеств , образующих разбиение множества (см. Кратный интеграл), и

- площадь S_i, то

где - мелкость разбиения . В случае явного задания поверхности Sв виде z= j(x, у), , формула (2) принимает вид

Если на поверхности S с векторным представлением (1) нет особых точек, т. е. , то ее можно ориентировать, выбрав на ней непрерывную единичную нормаль n= (cos a, cos b, cosg), напр..

Для ориентированной поверхности S⁺ определяют поверхностные интегралы второго рода по формулам

(3)

где в правой части стоят П. и. 1-го рода. Если S^- - поверхность Sс ориентацией, противоположной ориентации S⁺ , то

Аналогичные равенства имеют место в случае остальных П. и. 2-го рода (3). Как и П. и. 1-го рода, П. и. 2-го рода являются пределами интегральных сумм, к-рые можно описать в терминах поверхности.

Если , то справедлива формула

Аналогичные формулы справедливы и для других П. и. 2-го рода (3). В частности, для случая поверхности z=f(x, у).

Первый из этих интегралов наз. интегралом по "верхней" стороне поверхности S, а второй - по "нижней".

Эта терминология связана с тем, что вектор в случае явного задания поверхности S, т. е. когда х=и, y=v, z=f(x, у), составляет острый угол с осью z, т. е. направлен "вверх", а во втором случае - тупой угол и, следовательно, направлен "вниз".

Если гладкая поверхность Sявляется границей ограниченной области и S⁺ обозначает ее ориентацию с помощью внешней, а, значит, S^- с помощью внутренней, нормали по отношению к указанной области, то П. и. 2-го рода по ориентированной поверхности S⁺ наз. П. и. по внешней стороне поверхности, а по S^- - П. и. по внутренней стороне.

П. и. по кусочно гладким поверхностям, к-рые могут быть разбиты на конечное число частей, каждая из к-рых имеет векторное представление (1), определяются как суммы П. и. по соответствующим частям. Так, определенные П. и. по кусочно гладким поверхностям не зависят от способа разбиения поверхности на указанные части.

Остроградского формула устанавливает связь между тронным интегралом по трехмерной ограниченной области и П. и. по ее границе, а Стокса формула- между П. и. и криволинейным интегралом по контуру, являющимся ее краем.

П. и. равен площади поверхности S. Если на поверхности Sраспределена масса с плотностью F(x, у,z), то П. и. равен величине всей этой массы. Если а= а( х, у,z) - векторная функция, заданная на ориентированной с помощью единичной нормали пповерхности S, то П. и.

наз. потоком векторного поля а, через поверхность S. Очевидно, он не зависит от выбора системы координат в пространстве R³. С помощью П. и. записывают двойного слоя потенциал и простого слоя потенциал.

Если поверхность Sявляется дифференцируемым многообразием, непрерывно дифференцируемые неотрицательные функции j_j(x, у,z), j=1, 2, . . ., т, образуют разбиение единицы на S, т. е. носитель каждой функции содержится в нек-рой карте многообразия Sи для каждой точки , а функция F(x, у, z).определена на S, то, по определению,

(4)

где каждый интеграл в правой части понимается в смысле (2). Если S⁺ - ориентированное двумерное многообразие, то

(5)

Аналогично определяются П. и. 2-го рода других типов (3). Определения (4) и (5) не зависят от выбора разбиения единицы на многообразии S.

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., ч. 2, М., 1980; [2] Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа, т. 2, М., 1981; [3] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 2, М., 1975; [4] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, М., 1Я79; [5] Мищенко А. С., Фоменко А. Т., Курс дифференциальной геометрии и топологии, М., 1980. Л. <Д. <Кудрявцев.