Критерий сходимости знакоположительных рядов

Критерий сходимости положительных рядов (критерий Коши) — основной признак сходимости числовых рядов, установленный Огюстеном Коши.

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Доказательство

Необходимое условие

Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно она ограничена. А значит она ограничена и снизу и сверху. Доказано

Достаточное условие

Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Покажем, что наша последовательность(из членов ряда) неубывающая: $S(n+1)- S(n)=a(n+1)$ Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), следовательно ряд сходится (по определению).

Строгая формулировка

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы все отрезки этого ряда с достаточно большими номерами $\,n$ были сколь угодно малы. Другими словами, ряд $\sum a_k$ сходится тогда и только тогда, когда $\forall \,\varepsilon > 0, \exists \,\nu_\epsilon, \forall n, \forall p,$ $\,n \geqslant \,\nu_\varepsilon \Rightarrow \left|\sum^{p}_{k=1} {a_{n+k}}\right| \leqslant \varepsilon.(1)$

Доказательство

Последовательность $\,(s_n)$ частных сумм ряда $\sum a_k$ сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной, то есть

$\forall \,\varepsilon > 0, \exists \,\nu_\varepsilon, \forall n, \forall p,$

$\,n \geqslant \,\nu_\varepsilon \Rightarrow \left|s_{n+p} - s_n\right| \leqslant \varepsilon,$

что равносильно условию $\,(1),$ так как $\,s_{n+p} - s_n = a_{n+1} + ... + a_{n+p}.$

Литература

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.