- Описанная окружность
-
Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать
) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Содержание
Свойства
- Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
- Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Для треугольника
- Около треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.
- У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
Обозначаем буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА = OB = ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC.
- 3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.
- Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.
- Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
Радиус
Радиус описанной окружности может быть найден по формулам
-
- Где:
— стороны треугольника,
— угол, лежащий против стороны
,
— площадь треугольника.
— полупериметр треугольника.
Положение центра описанной окружности
Пусть
радиус-векторы вершин треугольника,
— радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда
где
При этом
- длины сторон треугольника, противоположных вершинам
.
Уравнение описанной окружности
Пусть
координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости,
— координаты центра описанной окружности. Тогда
Для точек
, лежащих внутри окружности, определитель отрицателен, а для точек вне ее — положителен.
- Теорема о трезубце: Если
— точка пересечения биссектрисы угла
с описанной окружностью, а
— центр вписанной окружности то
.
- Формула Эйлера: Если
— расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны
и
соответственно, то
.
Для четырехугольника
Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник необходимо является выпуклым.
Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан).
Можно описать окружность около:
- любого прямоугольника (частный случай квадрат)
- любой равнобедренной трапеции
У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:[1]
- |AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|
Для многоугольника
- Если из отрезков составить многоугольник, то его площадь будет максимальна, когда он вписанный.
- Если точка равноудалена от вершин многоугольника, то она проектируется в центр окружности, описанной около этого многоугольника.
В сферическом треугольнике
Описанная окружность для сферического треугольника — это окружность, содержащая все его вершины.
- Если A, B, C — углы сферического треугольника, P — их полусумма, то тангенс радиуса[2] описанной окружности будет равен[3]
- Описанная окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр описанной окружности пересечет сферу в точке пересечения серединных перпендикуляров (больших кругов сферы, перпендикулярных сторонам в их середине) к сторонам сферического треугольника[3] .
См. также
- Вписанная окружность
- Вневписанная окружность
- Теорема Султановского
Примечания
- ↑ Теорема Птолемея
- ↑ Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и вершину треугольника.
- ↑ 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.
Литература
- Элементарная геометрия / Киселёв А.П.. — М.: Просвещение, 1980.
- Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 87. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 53-54. — ISBN 5-94057-170-0
Категории:- Кривые
- Геометрия треугольника
Wikimedia Foundation. 2010.