ШРЁДИНГЕРА УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЕ

ШРЁДИНГЕРА УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЕ
ШРЁДИНГЕРА УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЕ

- нелинейное дифференциальное ур-ние в частных производных

469-512_01-114.jpg

где 469-512_01-115.jpg -комплекснозначная ф-ция (заряж. скалярное поле). Вещественный параметр 469-512_01-116.jpgвходящий в ур-ние, играет роль константы связи. Своё название Ш. у. н. получило из-за формального сходства с Шрёдингера уравнением для свободной одномерной частицы, в к-рое ур-ние (1) переходит в линейном пределе 469-512_01-117.jpgВ физ. приложениях ур-ние (1) возникает при исследовании широкого класса нелинейных явлений, в частности в физике плазмы, в нелинейной оптике и др.

Ш. у. н. может быть проинтегрировано с помощью обратной задачи рассеяния метода. В основе данного метода лежит представление ур-ния (1) в виде условия совместности переопределённой системы ур-ний (вспомогат. линейной задачи):

469-512_01-118.jpg


Здесь F -двухкомпонентный вектор-столбец, зависящий от х, t и нек-рого произвольного комплексного числа 469-512_01-119.jpg получившего назв. "спектральный параметр", 469-512_01-120.jpg- матрицы 469-512_01-121.jpg


469-512_01-122.jpg


Здесь и в дальнейшем 469-512_01-123.jpg- Паули матрицы( а = 0, 1, 2, 3),469-512_01-124.jpg 469-512_01-125.jpg -ф-ция, комплексно-сопряжённая ф-ции 469-512_01-126.jpg при 469-512_01-127.jpgпри 469-512_01-128.jpg

Выполнение условия совместности для вспомогательной линейной задачи


469-512_01-129.jpg


эквивалентно выполнению ур-ния (1). Запись ур-ния (1) в виде (1') принято называть представлением нулевой кривизны.


Альтернативно метод обратной задачи рассеяния может быть сформулирован на основе представления Лакса.

Центр, объектом в методе обратной задачи рассеяния является матрица монодромии 469-512_01-130.jpgДля определения последней необходимо ввести матрицу перехода 469-512_01-131.jpg удовлетворяющую ур-нию


469-512_01-132.jpg


Конкретное выражение матрицы монодромии через матрицу перехода зависит от вида граничных условий, накладываемых на ф-цию 469-512_01-133.jpgПредположим, что решение Ш. у. н. ищется в классе быстроубывающих ф-ций с нач. условием 469-512_01-134.jpg

Тогда


469-512_01-135.jpg


Замечательным свойством матрицы монодромии является особенно простая зависимость её матричных элементов от времени:

469-512_01-136.jpg


Ф-ции 469-512_01-137.jpgи 469-512_01-138.jpgпринято называть коэф. перехода. В теории рассеяния величины 469-512_01-139.jpgи 469-512_01-140.jpgиграют роль коэф. прохождения и отражения. Решение 469-512_01-141.jpgур-ния (1) однозначно восстанавливается по данным рассеяния и сводится к исследованию аналитич. свойств коэф. перехода. Конкретно это может быть сделано с помощью методов задачи Римана о факторизации матрицы или с помощью интегральных ур-ний Гельфанда-Левитана - Марченко. В частном случае безотражательного потенциала 469-512_01-142.jpgрешение находится явно и называется N -солитонным [где N -число нулей коэф.469-512_01-143.jpg].


С помощью метода обратной задачи рассеяния также находится решение задачи Коши для граничных условий вида 469-512_01-144.jpg (условия конечной плотности). В этом случае обычно в правую часть ур-ния (1) добавляют линейное по y слагаемое 469-512_01-145.jpg (соответственно в представлении нулевой кривизны матрица V заменяется на 469-512_01-146.jpg).

В случае периодич. граничных условий 469-512_01-147.jpg469-512_01-148.jpg решение Ш. у. н. сводится к исследованию вспомогат. линейной задачи на римановой поверхности ф-ции

469-512_01-149.jpg


Здесь 469-512_01-150.jpg -границы разрешённых и запрещённых зон в спектре оператора 469-512_01-151.jpgВ случае, когда число зон конечно, решение 469-512_01-152.jpgур-ния (1) допускает явное выражение через 469-512_01-153.jpg -функции Римана и наз. конечнозонным. При 469-512_01-154.jpg конечнозонные решения Ш. у. н. переходят в N -солитонные.

Ш. у. н. можно рассматривать как гамильтоново ур-ние движения 469-512_01-155.jpgс гамильтонианом

469-512_01-156.jpg

и скобкой Пуассона 469-512_01-157.jpg. Координатами в фазовом пространстве являются ф-ции 469-512_01-158.jpgс определ. граничными условиями.

В рамках гамильтонова подхода к Ш. у. н. широкое распространение получил метод r-матрицы, первоначально возникший в теории квантового метода обратной задачи. В основе данного метода лежит возможность представить скобки Пуассона матричных элементов матрицы 469-512_01-159.jpg в виде

469-512_01-160.jpg

где r -матрица равна

469-512_01-161.jpg

Можно показать, что такая запись скобок Пуассона заменяет представление нулевой кривизны.

Скобки Пуассона матричных элементов матрицы моно-дромии также записываются с помощью r-матрицы:

469-512_01-162.jpg

С точки зрения гамильтонова подхода переход к данным рассеяния является канонич. преобразованием к переменным действие - угол.

Гамильтонова модель Ш. у. н. является вполне интегрируемой и обладает бесконечным набором интегралов движения 469-512_01-163.jpg производящей ф-цией для к-рых является след матрицы монодромии 469-512_01-164.jpgВсе интегралы движения записываются в виде локальных функционалов от 469-512_01-165.jpg и их производных, напр.:

469-512_01-166.jpg

469-512_01-167.jpg

Ур-ния видапринято называть высшими

Ш. у. н.469-512_01-168.jpg

Векторное Ш. у. н. описывает движение заряж. скалярного поля 469-512_01-169.jpgцветами:

469-512_01-170.jpg

где под 469-512_01-171.jpgподразумевается вектор-столбец, эрмитово сопряжённый к вектор-строке 469-512_01-172.jpg Векторное Ш. у. н., как и скалярное, представимо в виде условия нулевой кривизны. Матрицы U и V в этом случае имеют размерность 469-512_01-173.jpg и в блочной записи являются прямым обобщением матриц U к У скалярного ур-ния. Гамильтониан модели и скобки Пуассона даются ф-лами

469-512_01-174.jpg

Иногда в литературе под термином "Ш. у. н." подразумевают систему ур-ний

469-512_01-175.jpg

причём ф-ции q и r, вообще говоря, не являются комплексно сопряжёнными. Большинство результатов для ур-ния (1) справедливо и для системы (2), однако в последнем случае для разрешимости обратной задачи рассеяния требуется накладывать ряд дополнит, условий на данные рассеяния. Помимо стандартных методов для системы (2) существует метод построения решения с помощью преобразования Беклунда - Шлезингера. А именно, если 469-512_01-176.jpg - решения (2), то

469-512_01-177.jpg


также - решения (2). Указанное преобразование является простым способом построения солитонных решений ур-ния (1). А именно, в качестве затравочного решения системы (2) выбирается r0 = 0, q0- общее решение свободного ур-ния. После N -кратного применения преобразования Беклунда - Шлезингера к q0 и r0 и наложения условия 469-512_01-178.jpg получаем N -солитонное решение ур-ния (1). Ряд разностных ур-ний, к-рые в непрерывном пределе переходят в Ш. у. н., обычно называют решёточными Ш. у. н. К таким ур-ниям относится, напр., ур-ние Абловитца-Ладика:


469-512_01-179.jpg


Это ур-ние является гамильтоновым и вполне интегрируемым. Переход от непрерывной ф-ции 469-512_01-180.jpgк дискретной переменной 469-512_01-181.jpgчасто используется при квантовании Ш. у. н.

Квантовое Ш. у. н.


469-512_01-182.jpg


описывает квантовую одномерную систему многих частиц с парным взаимодействием, к-рое задаётся потенциалом 469-512_01-183.jpg Здесь 469-512_01-184.jpgявляются соответственно операторами рождения и уничтожения, действующими в Фока пространстве469-512_01-185.jpgОдновременные перестановочные соотношения задаются ф-лой


469-512_01-186.jpg

Гамильтониан модели


469-512_01-187.jpg

Квантовое Ш. у. н. допускает представление нулевой кривизны, аналогичное представлению для классического Ш. у. н. Перестановочные соотношения между матричными элементами матрицы монодромии, к-рая определяется так же, как и в классич. случае, задаются с помощью квантовой R -матрицы:

469-512_01-188.jpg

Как и классическое, квантовое Ш. у. н. является вполне интегрируемым и обладает бесконечным набором интегралов движения. Многочастичная матрица рассеяния сводится к произведению двучастичных матриц рассеяния.

Квантовое Ш. у. н. решается с помощью анзаца Бете. Конкретная формулировка анзаца Бете зависит от вида граничных условий, налагаемых на операторы 469-512_01-189.jpg В случае периодич. задачи на отрезке 469-512_01-190.jpg собственные ф-ции гамильтониана H ищутся в виде

469-512_01-191.jpg


Ф-ция 469-512_01-192.jpg при этом определяется из условия 469-512_02-1.jpg и параметризуется набором параметров

469-512_02-2.jpg

469-512_02-3.jpg

Здесь сумма берётся по перестановкам переменных l1, ..., 469-512_02-4.jpg к-рые в свою очередь должны удовлетворять системе ур-ний 469-512_02-5.jpg

Собственные значения гамильтониана

469-512_02-6.jpg

В рамках квантового метода обратной задачи собственные ф-ции гамильтониана Я строятся с помощью матричных элементов матрицы монодромии и выглядят особенно просто:

469-512_02-7.jpg

В случае притяжения (x<0) в модели возможны связанные состояния, к-рые иногда называют квантовыми солитонами.

Корреляц. ф-ции квантового Ш. у. н. могут быть выражены в терминах детерминантов Фредгольма. В пределе 469-512_02-8.jpg (непроницаемый бозе-газ) корреляц. ф-ции операторов 469-512_02-9.jpg выражаются через решения классич. системы (2).

Лит.: Захаров В. E., Шабат А. Б., Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах, "ЖЭТФ", 1971, т. 61, в. 1, с. 118; Теория солитонов. Метод обратной задачи, M., 1980; Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д., Гамильтонов подход в теории солитонов, M., 1986; НьюэллА., Солитоны в математике и физике, пер. с англ., M., 1989; Ko-repin V. E., Bogoliubov N. M., Izergin A. G., Quantum inverse scattering method and correlation functions, Cambr., 1993.

H. А. Славное.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "ШРЁДИНГЕРА УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЕ" в других словарях:

  • Нелинейное уравнение Шрёдингера — Не следует путать с Уравнение Гросса  Питаевского. Нелинейное или кубическое уравнение Шрёдингера (НУШ, англ. Nonlinear Schrödinger equation (NLS))  нелинейное уравнение в частных производных второго порядка, играющее важную роль в …   Википедия

  • Уравнение Клейна — Гордона — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где …   Википедия

  • Уравнение Клейна-Гордона — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. является релятивистской версией …   Википедия

  • Уравнение Клейна-Гордона-Фока — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. является релятивистской версией …   Википедия

  • Уравнение Клейна — Гордона — Фока — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. является релятивистской версией …   Википедия

  • Уравнение Клейна — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока, уравнение Клейна Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где   оператор Д’Аламбера. явля …   Википедия

  • НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где есть мультииндекс с целыми неотрицательными где. Аналогично определяется Н. у …   Математическая энциклопедия

  • Уравнение Хартри — Уравнением Хартри, названным в честь Дугласа Хартри, является уравнение в , гдe и . Уравнение можно рассматривать как нелокальное кубическое уравнение Шрёдингера. Нелинейное уравнение Шрёдингера в некотором смысле является граничным случаем… …   Википедия

  • ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ — в механике, линейное однородное дифф. ур ние в частных производных, описывающее распространение волн в среде; имеет вид: где t время, х, у, z пространственные декартовы координаты, W= W(х, у, z, t) ф ция, характеризующая возмущение среды в точке… …   Физическая энциклопедия

  • НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ — ур ния, не обладающие свойством линейности; применяются в физике как матем. модели нелинейных явлений в разл. сплошных средах. Н. у. м. ф. важная часть матем. аппарата, используемого в фундам. физ. теориях: теории тяготения и квантовой теории… …   Физическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»