- Числа Ферма
-
Числа Ферма — числа вида
, где n — неотрицательное целое число. Последовательность чисел Ферма начинается так:
Содержание
История
Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако, эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, нашедшим разложение числа
на простые делители:
Свойства
- Правильный n-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда
, где
— различные простые числа Ферма (теорема Гаусса — Ванцеля).
- Среди чисел вида
простыми могут быть только числа Ферма (т.е. n обязано быть степенью 2-ки). Действительно, если у n есть нечётный делитель
и
, то по теореме Безу:
- и поэтому
не является простым.
- Простоту чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина.
- На январь 2012 года известно лишь 5 простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537 (последовательность A019434 в OEIS). Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой.
- Известно, что
являются составными при
.
- Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 7.
- Каждый делитель числа
при
имеет вид
(Эйлер, Люка, 1878).
Разложение на простые
Обобщённые числа Ферма
Обобщённые числа Ферма — числа вида
. Числа Ферма являются обобщёнными числами Ферма для a = 2 и b = 1.
Ссылки
- Леонид Дурман «Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней: начало, продолжение, окончание». Компьютерра, №№ 393-395, 2001.
- Делители чисел Ферма (англ.)
- Wilfrid Keller, Prime Factors of Fermat Numbers (англ.)
Категории:- Целочисленные последовательности
- Аналитическая теория чисел
Wikimedia Foundation. 2010.