Уравнение Больцмана

Уравне́ние Бо́льцмана, известное также как кинети́ческое уравнение Больцмана, названо по имени Людвига Больцмана, который его впервые рассмотрел. Оно описывает статистическое распределение частиц в газе или жидкости и является одним из самых важных уравнений физической кинетики (области статистической физики, которая описывает системы, далёкие от термодинамического равновесия, например, в присутствии градиентов температур и электрического поля). Уравнение Больцмана используется для изучения переноса тепла и электрического заряда в жидкостях и газах, и из него выводятся транспортные свойства, такие как электропроводность, эффект Холла, вязкость и теплопроводность. Уравнение применимо для разреженных систем, где время взаимодействия между частицами мало (гипотеза молекулярного хаоса).

Формулировка

Уравнение Больцмана описывает эволюцию во времени (t) функции распределения плотности f(x, p, t) в одночастичном фазовом пространстве, где x и p — координата и импульс соответственно. Распределение определяется так, что

$f(\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,d^3x\,d^3p$

пропорционально числу частиц в фазовом объёме d³x d³p в момент времени t. Уравнение Больцмана

$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \cdot \frac{\mathbf{p}}{m} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} \cdot \mathbf{F} = \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}.$

Здесь F(x, t) — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а m — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе. Этот случай часто называют уравнением Лиувилля. Если поле сил F(x, t) заменить подходящим самосогласованным полем, зависящим от функции распределения f, то получим уравнение Власова, описывающее динамику заряженных частиц плазмы в самосогласованном поле. Классическое же уравнение Больцмана используется в физике плазмы, а также в физике полупроводников и металлов (для описания кинетических явлений, т.е. переноса заряда или тепла, в электронной жидкости).

В гамильтоновой механике уравнение Больцмана часто записывается в более общем виде

$\hat{\mathbf{L}}[f]=\mathbf{C}[f]$,

где L — оператор Лиувилля, описывающий эволюцию объёма фазового пространства и C — столкновительный оператор. Нерелятивистская форма L $\hat{\mathbf{L}}_\mathrm{NR}=\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\mathbf{p}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{x}+\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{p},$ а в общей теории относительности

$\hat{\mathbf{L}}_\mathrm{GR}=\sum_\alpha p^\alpha\frac{\partial}{\partial x^\alpha}-\sum_{\alpha\beta\gamma}\Gamma^{\alpha}{}_{\beta\gamma}p^\alpha p^\gamma\frac{\partial}{\partial p^\alpha},$

где Γ — символ Кристоффеля.

Вывод уравнения Больцмана

Микроскопический вывод уравнения Больцмана из первых принципов (исходя из точного уравнения Лиувилля для всех частиц среды) производится путём обрыва цепочки уравнений Боголюбова на уровне парной корреляционной функции для классических^[1] и квантовых^[2]систем. Учёт в цепочке кинетических уравнений корреляционных функций более высокого порядка позволяет находить поправки к уравнению Больцмана^[3].

См. также

• H-теорема
• Цепочка уравнений Боголюбова

Ссылки

1. ↑ Боголюбов Н. Н. (1946). "Кинетические уравнения". Журнал экспериментальной и теоретической физики 16 (8): 691—702.
2. ↑ Боголюбов Н. Н., Гуров К. П. (1947). "Кинетические уравнения в квантовой механике". Журнал экспериментальной и теоретической физики 17 (7): 614—628.
3. ↑ Шелест А. В. Метод Боголюбова в динамической теории кинетических уравнений. — М.: Наука, 1990. 159 с. ISBN 5020140309.