Метод релаксации

Метод релаксации - итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений.

Система линейных уравнений

$\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1\\ a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2\\ & \ldots & \\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn}x_n & = & b_n\\ \end{matrix} \right.$

приводится к виду

$\left\{ \begin{matrix} b_{11}x_1 + b_{12}x_2 + \ldots + b_{1n}x_n + c_1 & = & 0\\ & \ldots & \\ b_{n1}x_1 + b_{n2}x_2 + \ldots + b_{nn}x_n + c_n & = & 0\\ \end{matrix} \right.$

где $b_{ij} = -\frac{a_{ij}}{a_{ii}}$, $c_i = \frac{b_i}{a_{ii}}$

Находятся невязки $R_{j}$:

$\left\{ \begin{matrix} R_1^{(0)} & = & c_1 - x_1^{(0)} + \sum \limits_{j = 2}^n b_{1j}x_j^{(0)}\\ R_2^{(0)} & = & c_2 - x_2^{(0)} + \sum \limits_{j = 1, j \neq 2}^n b_{2j}x_j^{(0)}\\ & \ldots & \\ R_n^{(0)} & = & c_n - x_n^{(0)} + \sum \limits_{j = 1}^{n - 1} b_{nj}x_j^{(0)}\\ \end{matrix} \right.$

Выбирается начальное приближение $X^{(0)} = 0$. На каждом шаге необходимо обратить в ноль максимальную невязку: $R_s^{(k)} = \delta x_s^{(k)} \Rightarrow R_s^{(k + 1)} = 0, R_i^{(k + 1)} = R_i^{(k)} + b_{is} \delta x_s^{(k)}$.

Условие остановки: $|R_j^{(k)}| < \varepsilon, \forall j = \overline{1, n}$.

Ответ находится по формуле: $x_i \approx x_i^{(0)} + \sum_j \delta x_i^{(j)}$.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.