Решение систем линейных алгебраических уравнений

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Содержание

Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:
\left\{\begin{array}{ccc}
a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& 0 \\
\ldots & & \\
a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n &=& 0
\end{array}\right.\iff A_{m\times n}\vec{x}=\vec{0},\quad A_{m\times n}=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & & \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right)\qquad (1)

Нулевое решение \vec{x}=(0,\ldots,0)\! системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Logo arte.jpg Теорема (о линейном решении однородных систем).
Пусть \vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^k\! — решения однородной системы (1), c_1,\ldots,c_k\! — произвольные константы. Тогда \vec{x}^*=c_1\vec{x}^1+\ldots+c_k\vec{x}^k\! также является решением рассматриваемой системы.

Сформулируем теорему, которая позволит дать основное определение:

Logo arte.jpg Теорема (о структуре общего решения).
Пусть r=\mathrm{rang}A\!, тогда:
  • если r=n\!, где n\! — число переменных системы, то существует только тривиальное решение;
  • если r<n\!, то существует (n-r)\! линейно независимых решений рассматриваемой системы: \vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^{n-r}\!, причём её общее решение имеет вид: \vec{x}_{OO}=c_1\vec{x}^1+\ldots+c_{n-r}\vec{x}^{n-r}\!, где c_1,\ldots,c_{n-r}\! — некоторые константы.

Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов \vec{y}^1,\ldots,\vec{y}^k\! размера n\! называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

Logo arte.jpg Теорема (о ФСР).
Пусть ранг основной матрицы \mathrm{rang}A=r<n\!, где n\! — число переменных системы (1), тогда:
  • ФСР (1) существует: \vec{y}^1,\ldots,\vec{y}^k\!;
  • она состоит из k=(n-\mathrm{rang} A_{m\times n})\! векторов;
  • общее решение системы имеет вид \vec{x}_{OO}=c_1\vec{y}^1+\ldots+c_{n-r}\vec{y}^{n-r}.

Замечание:
Если n=r\!, то ФСР не существует.

Пример

Решим систему
\left\{ \begin{array}{ccccccccc}
x_1  &+&  x_2 &+& 2x_3 &+&  x_4 &=& 0 \\
3x_1 &+& 2x_2 &+&  x_3 &+& 3x_4 &=& 0 \\
2x_1 &+& \frac{3}{2} x_2 &+& \frac{3}{2} x_3 &+& 2x_4 &=& 0
\end{array} \right.

Перепишем её в матричном виде:

\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 2 & 1\\
3 & 2 & 1 & 3\\
2 &\frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 2
\end{array} \right)\left(\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{array} \right)=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array} \right)

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 2 & 1\\
3 & 2 & 1 & 3\\
2 &\frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 2
\end{array} \right)\sim\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 2 & 1\\
0 & -1 & -5 & 0\\
0 &-\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & 0
\end{array} \right)\sim \left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 5 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует (n-r)=2\! линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

\left\{\begin{array}{ccccccccc}
x_1 &+& x_2 &+& 2x_3 &+& x_4 &=& 0\\
    & & x_2 &+& 5x_3 & &     &=&0
\end{array} \right.

Возьмём x_1\! и x_2\! в качестве главных переменных. Тогда:

\left\{\begin{array}{ccccc}
x_1 &=& 3x_3 &-& x_4 \\
x_2 &=& -5x_3 & & 
\end{array} \right.

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: x_3\! и x_4\!.

\begin{array}{c|c|c|c|c}
  & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\hline
\vec{x}^1 & 3  & -5  &  1  &  0\\
\hline
\vec{x}^2 & -1 &  0  &  0  &  1
\end{array}

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

\vec{x}_{OO}=c_1\left(\begin{array}{c}3\\-5\\1\\0 \end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}-1\\0\\0\\1\end{array}\right)\!,

а вектора \vec{x}^1=\left(\begin{array}{c}3\\-5\\1\\0 \end{array}\right),\;\vec{x}^2=\left(\begin{array}{c}-1\\0\\0\\1\end{array}\right)\! составляют фундаментальную систему решений.

Неоднородные системы

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:
\left\{\begin{array}{ccc}
a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& b_1 \\
\ldots & & \\
a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n &=& b_m
\end{array}\right.\iff A_{m\times n}\vec{x}=\vec{b},\quad A_{m\times n}=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & & \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right),\quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array}\right)\qquad (2)

\tilde{A}_{m\times (n+1)}=\left(\begin{array}{ccc|c}
a_{11} & \ldots & a_{1n} & b_1 \\
\ldots & & & \vdots \\
a_{m1} & \ldots & a_{mn} & b_m
\end{array}\right) — её расширенная матрица.

Logo arte.jpg Теорема (об общем решении неоднородных систем).
Пусть r=\mathrm{rang}A=\mathrm{rang} \tilde{A}\! (т.е. система (2) совместна), тогда:
  • если r=n\!, где n\! — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно;
  • если r<n\!, то общее решение системы (2) имеет вид \vec{x}_{OH}=\vec{x}_{OO}+\vec{x}_{4H}\!, где \vec{x}_{OO}\! — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением, \vec{x}_{4H}\! — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.

Пример

Решим систему
\left\{ \begin{array}{ccccccccc}
x_1  &+&  2x_2 &-& 3x_3 &+&  x_4 &=& 1 \\
     & &       & & 3x_3 &+&  x_4 &=& 4 \\
     & &       & &  x_3 &+& 2x_4 &=& 3
\end{array} \right.

Преобразуем её к
\left\{ \begin{array}{ccccccccc}
x_1  &+&  2x_2 &-& 3x_3 &+&  x_4 &=& 1 \\
     & &       & &  x_3 &+& 2x_4 &=& 3 \\
     & &       & &      & &  x_4 &=& 1
\end{array} \right.

Тогда переменные x_4=1\! и x_3=1\! обязательно будут главными, возьмём также x_2\! в качестве главной.

Заметим, что \vec{x}=\left(1,1,1,1\right)\! является частным решением.

Составим однородную систему:
\left\{ \begin{array}{ccccccccc}
x_1  &+&  2x_2 &-& 3x_3 &+&  x_4 &=& 0 \\
     & &       & &  x_3 &+& 2x_4 &=& 0 \\
     & &       & &      & &  x_4 &=& 0
\end{array} \right.

Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной x_1\!, получим ФСР однородной системы:

\begin{array}{c|c|c|c|c}
 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\hline
\vec{x} & 1  & -\frac{1}{2}  &  0  &  0
\end{array}

Общее решение системы может быть записано так:

\vec{x}_{OH}=c\left(\begin{array}{c}1\\-\frac{1}{2}\\0\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\!

Литература

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Решение систем линейных алгебраических уравнений" в других словарях:

  • Система линейных алгебраических уравнений — Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛАУ) в линейной алгебре  это система уравнений вида (1) …   Википедия

  • Система уравнений — У этого термина существуют и другие значения, см. Система (значения). Система уравнений  это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. Формальная запись общего вида… …   Википедия

  • Численное решение системы нелинейных уравнений — Содержание 1 Постановка задачи 2 Численные методы решения уравнений 2.1 Метод простой итерации …   Википедия

  • СЛАУ — Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре это система уравнений вида (1) Здесь x1, x2, …, xn неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn коэффициенты системы и b1, b2, … bm свободные члены …   Википедия

  • Корректные и некорректные задачи —         классы математических задач, которые различаются степенью определённости их решений. Многие математические задачи состоят в том, что по исходным данным u ищется решение z. При этом считается, что u и z связаны функциональной зависимостью… …   Большая советская энциклопедия

  • Матричный метод — решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем. Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем): Тогда её можно переписать в… …   Википедия

  • Матрица (в математике) — Матрица в математике, система элементов aij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m n) матрице.… …   Большая советская энциклопедия

  • Матрица — I Матрица (нем. Matrize, от латинского matrix матка, источник, начало)         в полиграфии,          1) сменный элемент литейной формы с углублённым (иногда фотографическим) изображением буквы или знака, используемый при отливке типографских… …   Большая советская энциклопедия

  • Вычислительная математика — Имеется викиучебник по теме «Вычислительная математика» …   Википедия

  • Приближенные вычисления — Вычислительная математика раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством вычислений и использованием компьютеров. В более узком понимании вычислительная математика теория численных методов решения типовых математических… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Решение систем линейных алгебраических уравнений» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»