- Многосеточный метод
-
Многосеточный (МС, англ. multigrid) метод — метод решения системы линейных алгебраических уравнений, основанный на использовании последовательности уменьшающихся сеток и операторов перехода от одной сетки к другой. Сетки строятся на основе больших значений в матрице системы, что позволяет использовать этот метод при решении эллиптических уравнений даже на нерегулярных сетках.
Основы метода
Предположим, что необходимо решить систему вида
где
—
матрица с элементами
. Для удобства сопоставим индексы с узлами сетки, таким образом
представляет собой значение
в узле
. Множество узлов сетки обозначим как
. Основная идея многосеточных методов состоит в том, что ошибка
, которая не может быть устранена методами релаксации, должна быть убрана с помощью коррекции из решения на грубой сетке.
Используя верхний индекс в качестве номера уровня введем следующие обозначения:
- Последовательность сеток
, причем
.
- Сеточные операторы
.
- Операторы интерполяции
.
- Операторы сглаживания
.
Все эти компоненты многосеточного метода строятся на первом этапе, известном как этап построения
- Этап построения
- Приравнять
.
- Разделить
на непересекающиеся множества
и
.
- Приравнять
.
- Построить оператор интерполяции
.
- Приравнять
- Построить
.
- Построить если необходимо
.
- Если сетка
достаточно мала, приравнять
и остановится. Иначе
и переход на шаг 2.
- Приравнять
Как только этап построения завершен, может быть определен рекурсивный цикл построения решения:
- Алгоритм:
- Если
, решить
используя прямой метод.
- Иначе:
- Применить метод релаксации
раз к
.
- Произвести коррекцию на грубой сетке:
- Вычислить
.
- Вычислить
.
- Применить
.
- Обновить решение
.
- Вычислить
- Применить метод релаксации
раз к
.
- Применить метод релаксации
- Если
Вышеприведенный алгоритм описывает
— цикл.
Выбор последовательности сеток и оператора интерполяции являются наиболее важными элементами этапа построения и во многом определяют качество многосеточного метода. Критерием качества являются две измеряемые величины:
- фактор сходимости — показывающий насколько быстро сходится метод, то есть какое количество итераций требуется для достижения заданной точности;
- сложность оператора — определяющей количество операций и объем памяти необходимой для каждой итерации метода.
Сложность оператора
рассчитывается как отношение количества ненулевых элементов во всех матрицах
к количеству ненулевых элементов в матрице первого уровня
.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Викифицировать статью.
Категории:- Линейная алгебра
- Вычислительная математика
- Последовательность сеток
Wikimedia Foundation. 2010.