Решетка Браве

Решётка Браве́ — понятие для характеристики кристаллической решётки относительно сдвигов. Названа в честь французского физика Браве.

Решеткой Браве называется бесконечная система точек, которая образуется трансляционным повторением одной точки.

Типы решеток Браве

Разделяют двухмерные и трехмерные решетки Браве.

• Пять двухмерных решеток Браве

Решетка	Элементарная ячейка	Точечная группа симметрии
Косоугольная	Параллелограмм; $a \not= b, \varphi \not= 90^\circ$	2
Квадратная	Квадрат; $a = b, \varphi = 90^\circ$	4mm
Гексагональная	$60^\circ$-ный ромб; $a = b, \varphi = 120^\circ$	6mm
Примитивная прямоугольная	Прямоугольник; $a \not= b, \varphi = 90^\circ$	2mm
Центрированная прямоугольная	Прямоугольник; $a \not= b, \varphi = 90^\circ$	2mm

Обозначение mm указывает на наличие двух плоскостей зеркального отражения

• Четырнадцать трехмерных решеток Браве обычно подразделяются на семь систем, в соответствии с семью различными типами элементарных ячеек: триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной, кубической, тригональной и гексагональной. Каждая из систем характеризуется своим соотношением осей a,b,c и углов α,β,γ.

Кристаллографическая система	Число ячеек в системе	Символ ячейки	Характеристики элементарной ячейки
Триклинная	1	P	$a \not= b \not= c; \alpha \not= \beta \not= \gamma$
Моноклинная	2	P, C	$a \not= b \not= c; \alpha = \gamma = 90^\circ \not= \beta$
Ромбическая	4	P, C, I, F	$a \not= b \not= c; \alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$
Тетрагональная	2	P, I	$a = b \not= c; \alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$
Кубическая	2	P, I, F	$a = b = c; \alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$
Тригональная	1	R	$a = b = c; \alpha = \beta = \gamma < 120^\circ, \not=90^\circ$
Гексагональная	1	P	$a = b \not= c; \alpha = \beta = 90^\circ; \gamma = 120^\circ$

Решетка Браве и структура кристалла

Решетка Браве является математической моделью, отражающей трансляционную симметрию кристалла. В общем случае, решетка Браве не совпадает с реальным кристаллом, а узлы не соответствуют атомам. Поэтому следует отличать кристаллическую решетку и решетку Браве.

Неоднозначность выбора трансляционных векторов. Площадь элементарных ячеек одинакова

Построение решетки Браве

Понятие решетки Браве связано с основными трансляционными векторами. Основным трансляционным вектором называется минимальный в данном направлении вектор перехода из данной точки в ближайшую эквивалентную. В трехмерном случае таких некомпланарных векторов будет три (обозначим $\vec a_1$, $\vec a_2$, $\vec a_3$).

Задав нулевую точку, строим совокупность точек по правилу: $\vec a = n_1\vec a_1 + n_2\vec a_2 + n_3\vec a_3$, где $n_1,\ n_2,\ n_3$ − произвольные целые числа. Получившаяся решетка - решетка Браве.

Элементарная ячейка

Элементарная ячейка решетки Браве - параллелепипед, построенный на основных векторах трансляции. Выбор этих векторов неоднозначен (см. рис.), но объем элементарной ячейки $\Omega= \left( \vec a_1 \cdot \left[ \vec a_2 \times \vec a_3 \right] \right)$ не зависит от выбора трансляционных векторов. Это связано с инвариантностью получающегося детерминанта относительно сложения и вычитания строк.

На элементарную ячейку решетки Браве приходится один узел.

Элементарную ячейку можно задать и другими способами. Например, в форме ячейки Вигнера-Зейтца наглядно видно, что на ячейки приходится один узел.

Элементарная ячейка обратной решетки в форме ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве - первая зона Бриллюэна.

По симметрии элементарной ячейки выделяют сингонии в кристаллографии и физике твердого тела.