Реализация случайной функции

Случа́йный проце́сс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или пространства.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$. Параметризованное семейство $\{X_t\}_{t\in T}$ случайных величин

$X_t(\cdot) : \Omega \to \mathbb{R},\quad t \in T$,

где T произвольное множество, называется случайной функцией.

Терминология

• Если $T \subset \mathbb{R}$, то параметр $t \in T$ может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция {X_t} называется случайным процессом. Если множество T дискретно, например $T \subset \mathbb{N}$, то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.

• Если $T \subset \mathbb{R}^n$, где $n \geqslant 1$, то параметр $t \in T$ может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Данная классификация нестрогая. В частности термин случайный процесс часто используется как безусловный синоним термина случайная функция.

Классификация

• Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени $\;t_1, t_2, \ldots, t_n$, но не от самих значений этих величин. В противном случае, он называется нестационарным.
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдующие моменты времени, называются марковскими.
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если

$\forall n=3, 4, ..., \forall t_1, t_2, ..., t_n : t_1<t_2<...<t_n:$

$(X_{t_2}-X_{t_1}), (X_{t_3}-X_{t_2}), ..., (X_{t_n}-X_{t_{n-1}})$ — независимые случайные величины.

• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.

Замечание

Пусть дан случайный процесс $\{X_t\}_{t \in T}$. Тогда для каждого фиксированного $t\in T$ X_t — случайная величина. Если фиксирован элементарный исход $\omega \in \Omega$, то $X_t:T \to \mathbb{R}$ — детерминистическая функция параметра t. Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции {X_t}.

Примеры

• $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$, где $\;X_i \sim \mathrm{N}(0,1)$ называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
• Пусть $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, и Y — случайная величина. Тогда

$X_t(\omega) = f(t) \cdot Y(\omega)$

является случайным процессом.

См. также

• Случайная величина
• Цепь Маркова

Ссылки

• Самоподобные случайные процессы (новые статьи)

Источники

• А.А. Свешников Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
• С.И. Баскаков Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.